Задача. Расположенную на горизонтальном столе линейку вращают с частотой 0,5 с-1 вокруг одного из ее концов, толкая по столу небольшой брусок (см. рис.). Найдите максимальное расстояние от бруска до оси вращения, при котором брусок и линейка будут двигаться как единое целое, Коэффициент трения между бруском и столом $\mu_1=0,5$, между бруском и линейкой $\mu_2=0,4$.
Решение. При решении задачи будем пользоваться алгоритмом решения задач по динамике.
1. Систему отсчета свяжем с Землей, такая система отсчета является инерциальной.
2. Выполним чертеж с указанием всех сил, действующих на тело. При движении груза возможно его скольжение вдоль линейки. Сила трения, возникающая между линейкой и грузом, препятствует этому движению. Эта сила будет центростремительной, т.е. вызывающей движение груза по окружности. Так как груз неподвижен относительно линейки, то сила трения, действующая на брусок со стороны поверхности, по которой движется тело, должна компенсировать силу давления на груз со стороны линейки. Поэтому она направлена перпендикулярно радиусу окружности по которой движется тело, против вектора скорости. Чтобы показать все силы сделаем два рисунка в двух проекциях.
3. Запишем второй закон Ньютона в векторном виде
$m\vec{g}+\vec{F}_{mp1}+\vec{F}_{mp2}+\vec{N}_1+\vec{N}_2=m \vec{a}_n$.
В проекциях на ось $x$
$F_{mp2}=ma_{n0}$. (1)
В проекциях на ось $y$
$N_2-F_{mp1}=0$. (2)
В проекциях на ось $z$
$N_1-mg=0$. (3)
4. При вращении линейки, груз покоится относительно нее, т.е. $F_{mp2}$ — сила трения покоя. Однако такое положение тела у линейки является нестабильным (нас интересует максимальный радиус, тело должно находиться на грани соскальзывания). Это означает, что сила трения покоя, которая действует на тело максимальна, значит для нахождения модуля силы трения можно воспользоваться законом Амонтона-Кулона (мы считаем, что максимальный модуль силы трения покоя равен модулю силы трения скольжения). Из уравнения (3) следует, что $N_1=mg$, а из уравнения (2) что $N_2=F_{mp1}$. Модули сил трения
$F_{mp1}=\mu_1 N_1=\mu_1 mg$,
$F_{mp2}=\mu_2 N_2=\mu_2 \cdot F_{mp1}=\mu_2\mu_1 mg$.
5. Выразим модуль центростремительного ускорения через интересующие нас величины
$a_n=\omega ^2R$,
$\omega = 2\pi n$,
$a_n=(2\pi n ) ^2R= 4\pi^2 n^2 R$.
6. Перепишем уравнение (1) с учетом сказанного в пунктах 4 и 5
$\mu_2\mu_1 mg=m \cdot 4\pi^2 n^2 R$,
$\mu_2\mu_1 g= 4\pi^2 n^2 R$,
$R = \frac{\mu_2\mu_1 g}{4\pi^2 n^2}$,
$R = \frac{0,4 \cdot 0,5 \cdot 10}{4 \cdot 3,14^2 \cdot 0,5^2}\approx 0,2$ м.
Ответ: $\approx 0,2$ м.