Задача. Точка подвеса конического маятника движется вверх с постоянным ускорением 2,5 м/с2. Определите период обращения маятника, если нить отклонили от вертикали на 60°, а ее длина 1 м.
Решение. При решении задачи будем пользоваться алгоритмом решения задач по динамике.
1. Систему отсчета свяжем с Землей, такая система отсчета является инерциальной.
2. Выполним чертеж с указанием всех сил, действующих на тело. В задаче используется модель — конический маятник. Конический маятник представляет собой груз, подвешенный на нити и вращающийся по окружности в горизонтальной плоскости. При этом нить такого маятника описывает боковую поверхность конуса.
3. Запишем второй закон Ньютона в векторном виде для тела висящего на нити (рис. 1) и для того же тела движущегося по окружности (рис. 2)
$m\vec{g}+\vec{T}=m \vec{a}$.
Согласно закону сложения ускорений, ускорение тела относительно неподвижной системы отсчёта (СО связанной с Землей) равно геометрической сумме ускорения тела относительно подвижной системы отсчёта (этим ускорением будет являться центростремительное $\vec{a}_n$) и ускорения подвижной системы (СО связанной с точкой подвеса) относительно неподвижной:
$m\vec{g}+\vec{T}=m (\vec{a}_n+\vec{a}_0)$.
В проекциях на ось $x$
$T\, sin\, \alpha =ma_n$. (1)
В проекциях на ось $y$
$T\,cos\, \alpha -mg=ma_0$. (2)
4. Сил, модули которых выражаются известными формулами нет, пропускаем этот пункт.
5. Выразим модуль центростремительного ускорения через интересующие нас величины
$a_{n}=\frac{v^2}{R}$.
Период обращения обращения шарика связан со скоростью равномерно движущегося по окружности тела
$v=\frac{2\pi R}{T}$.
Подставим это выражение в уравнение для нахождения модуля центростремительного и преобразуем его
$a_{n}=\left( \frac{2\pi R}{T} \right)^2 \cdot \frac{1}{R}=\frac{4\pi^2R^2}{T^2}\cdot \frac{1}{R}=\frac{4\pi^2R}{T^2}$.
Радиус окружности, по которой движется тело, можно найти из очевидных геометрических соображений
$\frac{R}{l}=sin\, \alpha \Rightarrow R=lsin\, \alpha$.
Тогда, окончательно, получаем формулу для нахождения центростремительного ускорения
$a_n= \frac{4\pi^2 lsin\, \alpha}{T^2}$.
6. Из уравнения (2) находим модуль силы натяжения нити и переписываем уравнение (1), учтя выражение, полученное в пункте 5
$T=\frac{mg+ma_0}{cos\, \alpha}$,
$\frac{mg+ma_0}{cos\, \alpha} \cdot sin\, \alpha =m \cdot \frac{4\pi^2 lsin\, \alpha}{T^2}$,
$\frac{g+a_0}{cos\, \alpha} = \frac{4\pi^2 l}{T^2}$,
$(g+a_0)T^2=4\pi^2 lcos\, \alpha$,
$T^2=\frac{4\pi^2 lcos\, \alpha}{g+a_0}$,
$T=\sqrt{\frac{4\pi^2 lcos\, \alpha}{g+a_0}}=2\pi \sqrt{\frac{lcos\, \alpha}{g+a_0}}$,
$T=2 \cdot 3,14 \sqrt{\frac{1 \cdot \frac{1}{2}}{10+2,5}}=1,256$ с.
Ответ: $1,256$ с.