Задача. К краю круглой платформы радиусом $R=0,2$ м прикрепили на нити длиной $l=0,3$ м шарик (см. рис.). С какой угловой скоростью нужно вращать платформу, чтобы нить с осью платформы составляла угол $\alpha =30^{\circ}$?
Решение. При решении задачи будем пользоваться алгоритмом решения задач по динамике.
1. Систему отсчета свяжем с Землей, такая система отсчета является инерциальной.
2. Выполним чертеж с указанием всех сил, действующих на тело.
3. Запишем второй закон Ньютона в векторном виде
$m\vec{g}+\vec{T}=m \vec{a}_n$.
В проекциях на ось $x$
$T\, sin\, \alpha =ma_n$. (1)
В проекциях на ось $y$
$T\, cos\, \alpha -mg=0$. (2)
4. Сил, модули которых выражаются известными формулами нет. Пропускаем этот пункт.
5. Выразим модуль центростремительного ускорения через интересующие нас величины
$a_{n}=\omega ^2r$.
Радиус окружности $r$, по которой движется тело будет включать в себя не только расстояние $d$ на которое груз отклоняется от вертикали, но и расстояние $R$ (для лучшего понимания этого момента взгляните на чертеж с силами). Расстояние $d$ можно найти через синус угла $\alpha$
$\frac{d}{l}=sin\, \alpha \Rightarrow d=l\, sin\, \alpha$.
Значит, модуль центростремительного ускорения можно переписать так
$a_{n}=\omega ^2(R+l\, sin\, \alpha)$.
6. Из уравнения (2) находим модуль силы натяжения
$T\,cos\, \alpha =mg$,
$T=\frac{mg}{cos\, \alpha}$.
Подставляем это выражение и выражение, полученное в пункте 5, в уравнение 1
$\frac{mg}{cos\, \alpha} \cdot sin\, \alpha =m \cdot \omega ^2(R+l\, sin\, \alpha)$,
$g\, tg\, \alpha = \omega ^2(R+l\, sin\, \alpha)$,
$\omega ^2= \frac{g\, tg\, \alpha }{R+l\, sin\, \alpha}$,
$\omega= \sqrt{\frac{g\, tg\, \alpha }{R+l\, sin\, \alpha}}$,
$\omega= \sqrt{\frac{10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}}{0,2+0,3 \cdot 0,5}}\approx 4$ рад/с.
Ответ: $\approx 4$ рад/с.