Задача. Поршень, масса которого $M=3$ кг, представляет собой круглый диск радиусом $R=4$ см с отверстием, в которое вставлена тонкостенная трубка радиусом $r=1$ см. Поршень может плотно и без трения входить в стакан и сначала лежит на дне стакана. На какую высоту поднимется поршень, если в трубку влить $m=700$ г воды?
Решение. Сделаем рисунок для большего понимания ситуации. Если влить в трубку воду, то часть воды будет в трубке, а часть попадет под поршень, подняв его.
После установления равновесия, давление в воде на всех уровнях (в том числе на уровне $AA_1$) будет одинаковым (если бы это было бы не так, то и равновесия еще не ступило и жидкость продолжает переливаться, ведь она всегда переливается из области высокого давления в область низкого давления, если ей предоставлена такая возможность). На уровне $AA_1$ на жидкость оказывает давление $p_1$ поршень (а на него в свою очередь — атмосфера и поршень передает это это давление), а в трубке — столбик воды высотой $H$ давление $p_2$ (а на нее в свою очередь — атмосфера и по закону Паскаля вода также передает это это давление).
На основании вышесказанного можно написать уравнения
$p=p_0+p_1=p_0+\frac{F}{S_1}$,
где $F$ — сила давления поршня на воду, равная его весу $P=Mg$, а $S_1$ — его площадь. Второе уравнение — давление воды
$p=p_0+p_2=p_0+\rho\cdot g \cdot H$.
Анализируя эти уравнения, можно заметить, что из этого уравнения, можно найти высоту $H$. Ищем
$p_0+\frac{F}{S_1}=p_0+\rho\cdot g \cdot H$,
$\frac{Mg}{S_1}=\rho\cdot g \cdot H$,
$H=\frac{M}{\rho\cdot S_1}$,
где $S_1$ — площадь поршня. Так как в поршне проделано отверстие под трубку, то из общей площади круга радиусом $R=4$ см придется исключить площадь малого круга радиусом $r=1$ см
$S_1=\pi R^2-\pi r^2$,
$H=\frac{M}{\rho\cdot (\pi R^2-\pi r^2)}=\frac{M}{\rho\cdot \pi \cdot (R^2-r^2)}$.
Мы сейчас конечно же можем найти эту высоту, но вычисления здесь не самые приятные, поэтому считать не будем, а подумаем что делать дальше. Высота относится к геометрическим размерам столбика воды в трубке. Если мы знаем размеры, то можно найти объем воды в трубке и ее массу
$m_1=\rho \cdot V=\rho \cdot S_0 \cdot H=\rho \cdot \pi r^2 \cdot \frac{M}{\rho\cdot \pi \cdot (R^2-r^2)}$,
$m_1=\frac{M\cdot r^2}{R^2-r^2}$,
$m_1=\frac{3\cdot 1^2}{4^2-1^2}=0,2$ кг.
Тогда, масса воды под поршнем
$m_2=M-m_1$,
$m_2=0,7-0,2=0,5$ кг.
Высоту этого столба воды можно также найти через плотность и объем
$V_1=\frac{m_1}{\rho}$,
$S_1h=\frac{m_1}{\rho}$,
$h=\frac{m_1}{\rho S_1}$,
$h=\frac{m_1}{\pi\rho R^2}$,
$h=\frac{0,5}{3,14 \cdot 1000 \cdot 0,04^2}\approx 0,1$ м.
Ответ: $\approx 0,1$ м.