Задача. В чистой воде плавает деревянный кружок, погруженный на глубину $h=2,1$ см. На сколько изменится глубина погружения кружка, если в каждом литре воды растворить $m=50$ соли? Изменением объема воды при растворении соли пренебречь.
Решение. Кружок плавает на поверхности воды в каждом случае, поэтому сила Архимеда равна силе тяжести в каждом случае (т.е. силы Архимеда, действующие на кубик при погружении во все жидкости, одинаковы). Запишем выражение для нахождения модуля силы Архимеда в каждом случае
$F_{A1}=\rho \, g \,V_1$,
$F_{A2}=\rho_1 \, g \,V_2$.
После растворения в воде соли, плотность жидкости увеличится. Представьте, что у нас есть литр воды. Масса этой воды $m_1=\rho \, V$. К этой массе добавляется масса соли, а объем остается тем же. Поэтому плотность солевого раствора
$\rho_1=\frac{m_1+m}{V}=\frac{m_1+\rho \, V}{V}$,
$\rho_1=\frac{0,050+1000 \cdot 0,001}{0,001}=1050$ кг/м3.
Объем погруженной части кружка можно найти через площадь его основания и глубину погружения (нам же нужно как-то выйти на эту величину и объем здесь самое то) и сравним глубину погружения кружка через равенство сил Архимеда
$\rho \, g\, S \, h=\rho_1 \, g \,S \, \, h’$,
$\rho\, h=\rho_1\, h’$,
$h’=\frac{\rho\, h}{\rho_1}$.
Теперь можно найти изменение глубины погружения
$\Delta h=h-h’=h-\frac{\rho\, h}{\rho_1}=\frac{h\rho_1-\rho\, h}{\rho_1}=\frac{h(\rho_1-\rho)}{\rho_1}$,
$\Delta h=\frac{2,1 \cdot (1050-1000)}{1050}=0,1$ см.
Ответ: 0,1 см.