Задача. Тонкостенный стакан массой $m=50$ г плавает в вертикальном положении на границе раздела двух несмешивающихся жидкостей с плотностями $\rho_1=800$ кг/м3 и $\rho_2=1000$ кг/м3. Определите глубину погружения $H$ стакана в нижнюю жидкость, если дно стакана имеет толщину $h=1$ см и площадь $S=3 \cdot 10^{-3}$ м2, а сам стакан заполнен жидкостью плотностью $\rho_1$.
Решение. Силой Архимеда, действующей на стенки стакана пренебрежем (стакан тонкостенный). Стакан плавает в воде, поэтому сила Архимеда равна силе тяжести
$m\, g=F_{A}$.
Силы Архимеда, действующая на дно стакана — результат неодинаковых сил давления на верхнюю грань дна стакана и на нижнюю грань дна стакана
$F_{A}=F_2-F_1$,
$F_A=p_2S-p_1S$,
где $p_1$ — давление жидкости плотностью $\rho_2$ на нижнюю грань дна стакана, а $p_2$ — давление жидкости плотностью $\rho_1$ на верхнюю грань дна стакана. Запишем выражения, определяющие гидростатическое давление жидкостей
$p_1=\rho_1g(H-h)$,
$p_2=\rho_2gH$.
С учетом всего написанного перепишем условие плавания
$m\, g=\rho_2gHS-\rho_1g(H-h)S$,
$\frac{m}{S}=\rho_2H-\rho_1(H-h)$,
$\frac{m}{S}=\rho_2H-\rho_1H+\rho_1h$,
$\frac{m}{S}-\rho_1h=(\rho_2-\rho_1)H$,
$\frac{m-\rho_1hS}{S}=(\rho_2-\rho_1)H$,
$H=\frac{m-\rho_1hS}{S(\rho_2-\rho_1)}$,
$H=\frac{0,05-800 \cdot 0,01 \cdot 3 \cdot 10^{-3}}{3 \cdot 10^{-3} \cdot (1000-800)}\approx 0,043$ м $=4,3$ см.
Ответ: 4,3 см.