Задача. Движение материальной точки описывается уравнением $х = 5 — 8t + 4t^2$. Приняв ее массу равной 2 кг, найти импульс через 2 с и через 4 с после начала отсчета времени, а также силу, вызвавшую это изменение импульса.
Решение. Вначале, нам нужно найти выражение, определяющее зависимость проекции скорости от времени движения. Судя по виду координаты (наличие $t^2$) это прямолинейное равноускоренное движение.
I способ (для тех, кто еще не знаком с понятием производной). Для того, чтобы составить уравнение скорости, необходимо знать проекцию начальной скорости и проекцию ускорения. Возьмем общий вид координаты и найдем через сравнение коэффициентов, необходимые величины.
$v_{0x}=-8$ м/с,
$\frac{a_x}{2}=4\Rightarrow a_x=8$ м/с2.
Зависимость проекции скорости имеет вид
$v_x=v_{0x}+a_xt$,
$v_x=-8+8t$.
II способ (для тех, кто изучил понятие производной). Физический смысл производной заключается в том, что производная от координаты — проекция скорости
$x'(t)=v_x(t)=(5-8t+4t^2)’_t=-8+8t$.
Находим скорость тела в моменты времени $t_1=2$ с и $t_2=4$ с после начала движения
$v_x(t_1)=-8+8 \cdot 2=8$ м/с,
$v_1=8$ м/с;
$v_x(t_2)=-8+8 \cdot 4=24$ м/с,
$v_2=24$ м/с.
Находим импульс тела в интересующие нас моменты времени
$p_1=m \cdot v_1,\, \, p_1=2 \cdot 8=16$ кг·м/с,
$p_2=m \cdot v_2,\, \, p_2=2 \cdot 24=48$ кг·м/с.
Направление и модуль силы найдем, используя второй закон Ньютона в импульсной форме (хотя можно было и в привычной форме, ведь мы знаем ускорение и массу тела)
$F_x=\frac{\Delta p_x}{\Delta t}=\frac{p_{2x}-p_{1x}}{t_2-t_1}=\frac{mv_{2x}-mv_{1x}}{t_2-t_1}=\frac{m(v_{2x}-v_{1x})}{t_2-t_1}$,
$F_x=\frac{2 \cdot (24-8)}{4-2}=16$ Н.
Модуль силы $F=16$ Н.
Ответ: 16 кг·м/с; 48 кг·м/с; 16 Н.