Задача. Человек, находившийся в неподвижной лодке, прыгает на берег под углом $\alpha=30^{\circ}$ к горизонту со скоростью $v=5$ м/с относительно лодки в направлении от кормы к носу. Определите длину прыжка. Масса человека $m=60$ кг, масса лодки $M=180$ кг.
Решение. Сопротивлением при движении лодки пренебрежем. Внешние силы тяжести и Архимеда компенсируют друг друга, поэтому при описании движения можно применить ЗСИ. До прыжка лодка с человеком покоилась, значит суммарный импульс системы равен нулю. Пусть $\overrightarrow{v}_0$ — скорость человека относительно земли, которую приобретает человек в результате прыжка, а $\overrightarrow{u}$ — скорость лодки относительно земли.
Тогда ЗСИ примет вид
$m\overrightarrow{v}_0+M\overrightarrow{u}=0$.
Понятно что в горизонтальном направлении скорости $\overrightarrow{v}_0$ и $\overrightarrow{u}$ направлены в разные стороны, но точное направление вектора начальной скорости человека мы не знаем, поэтому ЗСИ в проекциях на горизонтальную ось будет иметь вид
$mv_{0x}-Mu=0$.
Согласно закону сложения скоростей, скорость человека относительно лодки равна сумме скоростей человека относительно земли и скорости земли относительно лодки (эта скорость будет равна по модулю, но противоположна по направлению скорости лодки относительно земли, т.е. $\overrightarrow{u}’=-\overrightarrow{u}$)
$\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}_0+\overrightarrow{u}’=\overrightarrow{v}_0-\overrightarrow{u}$.
Отсюда, начальная скорость человека относительно земли в векторном виде и в проекциях на координатные оси (учитывая, что $\alpha$ — угол наклона скорости человека к горизонту)
$\overrightarrow{v}_0=\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}$,
$v_{0x}=v\,cos\,\alpha-u$,
$v_{0y}=v\,sin\,\alpha$.
Из ЗСИ следует, что
$mv_{0x}=Mu\Rightarrow u=\frac{mv_{0x}}{M}$.
Тогда, проекция начальной скорости человека на горизонтальную ось в системе отсчета, связанной с землей
$v_{0x}=v\,cos\,\alpha-\frac{mv_{0x}}{M}$,
$v_{0x}+\frac{mv_{0x}}{M}=v\,cos\,\alpha$,
$Mv_{0x}+mv_{0x}=Mv\,cos\,\alpha$,
$(M+m)v_{0x}=Mv\,cos\,\alpha$,
$v_{0x}=\frac{Mv\,cos\,\alpha}{M+m}$.
Будем рассматривать движение человека в другой системе отсчета, т.к. нам теперь не интересно поведение всей системы «человек-лодка», а интересует лишь движение человека.
Напишем уравнения движения
$x=x_0+v_{0x}t+\frac{g_xt^2}{2}=\frac{Mv\,cos\,\alpha}{M+m}\cdot t$,
$y=y_0+v_{0y}t+\frac{g_yt^2}{2}=v\,sin\,\alpha\,t-\frac{gt^2}{2}$.
Дальность полета тела найдем из следующих соображений. В момент падения координата y она будет равна нулю, поэтому можно взять уравнение координаты y, приравнять его к нулю и найти время полета. После этого останется найти дальность полета как координату координату x в найденный момент времени
$v sin \alpha t- \frac{g t^2}{2}=0$,
$v sin \alpha — \frac{g t}{2}=0$,
$v sin \alpha = \frac{g t}{2}$,
$t=\frac{2v sin \alpha}{g}$,
$L=x=\frac{Mv\,cos\,\alpha}{M+m}\cdot \frac{2v sin \alpha}{g}$,
$L=x=\frac{Mv^2\,sin\,2\alpha}{(M+m)g}$,
$L=x=\frac{180 \cdot 5^2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{(180+60) \cdot 10}\approx 1,62$ м.
Ответ: 1,62 м.