3.2.2. Гидростатика. Закон Архимеда

[latexpage]Как известно, на любое тело погруженное в жидкость или газ действует выталкивающая или архимедова сила. Причиной возникновения архимедовой силы является разность давлений жидкости на верхнюю и нижнюю часть, т.к. давление зависит от глубины (высоты столба жидкости), соответственно для нижней части тела оно будет больше, а значит будет больше и сила давления. На боковую поверхность цилиндра действуют силы давления, которые приводят лишь к сжатию тела. Эти силы можно не принимать во внимание. Иными словами, равнодействующая сил гидростатического давления на поверхность выделенного объёма — архимедова сила.

Закон Архимеда — это один из законов, который дошел до нас в неизменном виде. Он выражает связь между выталкивающей (архимедовой) силой и весом жидкости, которую выталкивает тело. 
Закон Архимеда: выталкивающая сила равна весу жидкости в объеме выталкиваемого тела

$F_A=P_$ж .

На практике же, чаще всего пользуются другой формулой для вычисления силы Архимеда

$F_A=\rho g V$,

где $\rho$ — плотность жидкости или газа, а $V$ — объем тела. Эти формулы справедливы в любом случае, даже тогда, когда погружённое в жидкость или газ тело имеет любую форму.

Рассмотрим вопрос о точке приложения силы Архимеда и ее направлении. Сила тяжести, действующая на тело, приложена к его центру тяжести. Значит, и архимедова сила должна быть приложена к центру тяжести этого объёма. В противном случае сила тяжести и архимедова сила образуют пару сил, которая вызовет вращение нашего объёма , его на практике не наблюдается. Помимо всего прочего тело может находиться в равновесии в жидкости, а это говорит о том, что сила Архимеда будет направлена противоположно силе тяжести.

Напоследок отметим, что в последнюю формулу для вычисления архимедовой силы входят только объем тела и плотность жидкости, а также величина ускорения свободного падения и НЕ входят ни плотность тела, ни какие-либо его геометрические характеристики, ни глубина погружения — значит сила Архимеда не зависит от этих величин.

В случае частичного погружения тела в жидкость, сила Архимеда будет действовать только на ту часть тела, которая находится непосредственно в жидкости.

Условия плавания тел

  1. Если выталкивающая сила больше, чем сила тяжести ($F_A>mg$) либо, если плотность тела меньше плотности жидкости ($\rho_\tau <\rho_0$), то тело всплывает до тех пор, пока эти силы не уравновесятся. 
  2. Если выталкивающая сила равна весу тела ($F_A=mg$) либо, если плотность тела равно плотности жидкости ($\rho_\tau =\rho_0$), то тело плавает в любой точке жидкости.
  3. Если выталкивающая сила меньше веса тела ($F_A<mg$) либо, если плотность тела больше плотности жидкости ($\rho_\tau >\rho_0$), то тело тонет.

Первый случай — это очень важный случай и, пожалуй, наиболее часто встречающийся при решении задач. То есть, если в задаче будет указано, что тело плавает на поверхности жидкости, то это означает, что будучи помещенным в жидкость всплывало, т.е. выполнялось условие $F_A>mg$. Но как только тело начинает «выходить» из жидкости, то объем его подводной части уменьшается и, следовательно, уменьшается и сила Архимеда. Происходит это до тех пор, пока сила Архимеда и сила тяжести не станут равными друг другу по модулю. То есть для тела плавающего на поверхности выполняется условие $F_A=mg$ или

$mg=\rho g V$.

Рассмотрим также случаи, когда на тело, погруженное  жидкость не действует сила Архимеда:

  • Если тело плотно прилегает к дну сосуда. В этом случае под телом и поверхностью нет жидкости или газа, а значит нет и выталкивающей силы. Именно поэтому подводным лодкам нельзя ложиться на илистое дно — мощности их двигателей не хватит, чтобы преодолеть давление толщи воды сверху.
  • В невесомости. В невесомости, конечно же, можно в жидкость, например, в воду, поместить тело. И, конечно же, это тело вытеснит некоторый объем воды. Но эта вытесненная вода не будет ни сколько весить. Т. е. её вес будет равен нулю. Следовательно, и выталкивающая сила будет равняться нулю. В состоянии невесомости горячий воздух не поднимается, а холодный не опускается. Поэтому на МКС создают принудительную конвекцию воздуха с помощью вентиляторов.
  • В растворах и смесях. Если в воду налить спирт, на него не будет действовать сила Архимеда, хотя плотность спирта меньше плотности воды. Поскольку связь между молекулами спирта слабее, чем связь молекул воды, он растворится в воде, и образуется новая жидкость — водный раствор спирта.

Пример. Тонкая однородная палочка шарнирно укреплена за верхний конец. Нижняя часть палочки погружена в жидкость. Равновесие достигается, когда палочка расположена наклонно  и погружена в воду наполовину своей длины. Какова плотность материала из которого изготовлена палочка?

Решение.

Решение. 1. Выберем систему отсчета связанную с Землей.

2. Изобразим все силы, действующие на тело 

 

3. Первое условие равновесия при решении данной задачи записывать нецелесообразно, т.к. не определено направление силы реакции шарнира. Его необходимо было бы записать, если требовалось найти собственно силу реакции.

4. Выберем ось вращения. Самый удобный вариант здесь — рассмотреть вращение стержня относительно шарнира(точка О), так как это дает возможность не включать момент силы реакции (он будет равен нулю) во второе условие равновесия (правило моментов).

5. Определим плечи сил. Пусть длина стержня равна $l$, тогда:

а) Плечо силы тяжести, с учетом того, что точка приложения силы тяжести находится посредине стержня

$\frac{l_1}{l/2}=sin\alpha \Rightarrow l_1=\frac{l}{2}sin\alpha$.

б) Плечо силы Архимеда. Сила Архимеда точкой приложения будет иметь центр тяжести нижней части палочки, т.е. от этой точки до ближайшего конца палочки — $\frac{l}{4}$, а до рассматриваемой оси — $\frac{3l}{4}$

$\frac{l_2}{3l/4}=sin\alpha \Rightarrow l_2=\frac{3l}{4}sin\alpha$.

Запишем второе условие равновесия, учитывая, что сила тяжести вращает палочку по часовой стрелке, а сила Архимеда — против часовой

$mg\frac{l}{2}sin\alpha-F_A\frac{3l}{4}sin\alpha=0$,

$\frac{mg}{2}-\frac{3F_A}{4}=0$.

6. Учтем, что $F_A=\rho_0 g \frac{V}{2}$, а $m=\rho V$

$\frac{\rho Vg}{2}-\frac{3\rho_0 g V}{8}=0$,

$\rho =\frac{3\rho_0 }{4}$,

$\rho =\frac{3\cdot 1000 }{4}=750$кг/м3.

Задачи для самостоятельного решения

1. Два шара одинакового объема 100 см3 связаны нитью и погружены в жидкость. Верхний шарик плавает, наполовину погружаясь в жидкость. Найдите ее плотность, если известно, что сила натяжения нити составляет 0,1 Н, а нижний шар в 3 раза массивнее верхнего. g = 10 м/с2.

Нажмите, чтобы увидеть ответ

800 кг/м3.

[свернуть]

2. Тело плавает на границе двух жидкостей. Плотность одной жидкости в 2,5 раза больше плотности тела, а плотность другой — в 2 раза меньше плотности тела. Какая часть объема тела (в процентах) погружена в более плотную жидкость?

Нажмите, чтобы увидеть ответ

25%.

[свернуть]

3. Однородное тело массой 1 кг, утонувшее в жидкости плотностью 810 кг/м3, давит на дно с силой 1 Н. Какая часть (в процентах) этого тела будет погружена в воду, если тело будет плавать на ее поверхности? g = 10 м/с2.

Нажмите, чтобы увидеть ответ

90%.

[свернуть]

4. Один конец нити закреплен на дне, а второй прикреплен к пробковому поплавку. При этом 75% всего объема поплавка погружено в воду. Определите силу натяжения нити, если масса поплавка равна 2 кг. Плотность пробки 300 кг/м3, g = 10 м/с2.

5. Из водоема медленно с постоянной скоростью вытаскивают алюминиевый цилиндр длиной 2 м и площадью поперечного сечения 100 см2. Когда над поверхностью показалась часть цилиндра, равная 0,25 всей его длины, веревка оборвалась. Определите предельное натяжение, которое выдерживает веревка. Плотность алюминия 2700 кг/м3, g = 10 м/с2. 

6. В цилиндрическом сосуде с водой плавает льдинка, притянутая нитью ко дну. Когда льдинка растаяла, уровень воды понизился на 1 см. Какова была сила натяжения нити? Площадь дна сосуда 100 см2. g = 10 м/с2

7. В гладкий высокий стакан радиусом 4 см поставили палочку длиной 10 см и массой 60 г, после чего в стакан налили до высоты 3 см жидкость, плотность которой в полтора раза больше плотности материала палочки. Найдите силу (в мН), с которой верхний конец палочки давит на стенку стакана. g = 10 м/с2. 

8.Плавая в первой жидкости, куб погружается на 40 мм, а плавая во второй жидкости — на 60 мм. На сколько миллиметров он погрузится в третьей жидкости, плотность которой равна среднему арифметическому плотностей двух первых жидкостей?

9. Решите задачу Архимеда — найдите массу золота (в г) в короне, изготовленной из сплава золота с серебром. Вес короны в воздухе 25,4 Н, в воде — 23,4 Н. Плотность золота 19,3 г/см3, серебра — 10,5 г/см3. g = 10 м/с2.