Задача. Металлический шарик, упавший с высоты 20 м на доску, отскакивает от нее с потерей 25% скорости. Через сколько секунд после удара шарик второй раз упадет на доску?
Решение. При решении задачи воспользуемся алгоритмом, описанным в теоретической справке к разделу «Прямолинейное равноускоренное движение».
1. Разобьем весь путь на два участка. Вначале рассмотрим движение тела при падении вниз. На этом участке пути найдем скорость шарика в момент удара о доску. Эта скорость нам понадобится для расчета времени движения на втором участке. Заметим также, что на втором участке тело должно вернуться в исходную точку, это означает что перемещение тела на этом участке пути будет равно нулю. Будем считать, что в течении всего времени движения тело двигалось равноускоренно с ускорением равным ускорению свободного падения, т.к. в задаче не описано действие сил сопротивления (в таких случаях мы по умолчанию считаем, что они отсутствуют). Краткая запись условия: $v_{01}=0$ м/с, $s_1=20$ м, $\eta =0,25$, $v_{02}=(1-\eta) v_1$, $v_2=0$ м/с.
2. Выполним чертеж. Мы могли бы рассмотреть движение тела в одной системе координат. Но, для удобства, рассмотрим движение на первом и втором участках пути в своих системах координат. В первом случае координатную ось направим вниз (рисунок справа), а во втором — вверх (рисунок слева), т.е в направлении движения тела в каждом случае.
3. Запишем уравнения перемещения в проекциях на координатную ось, которые нам пригодятся для решения задачи
$s_{1x}=\frac{v_{1x}^2-v_{01x}^2}{2g_x}$,
$s_{2x}=v_{02x}t+\frac{g_xt^2}{2}$.
Первая формула нам поможет найти скорость в конце первого участка пути, а из второй мы найдем время в течении корого шарик будет находиться в полете после отскока.
4. Находим проекции векторов на координатные оси
$s_{1}=\frac{v_{1}^2}{2g}$,
$0=v_{02}t-\frac{gt^2}{2}$.
5. Находим конечную скорость тела на первом участке
$2gs_{1}=v_{1}^2$,
$v_{1}=\sqrt{2gs_{1}}$,
$v_{1}=\sqrt{2 \cdot 10 \cdot 20}=20$ м/с.
Тогда начальная скорость тела на втором участке $v_{02}=(1-0,25) \cdot 20=15$ м/с. Из второго уравнения в п. 4 находим время движения, предварительно разделив его на $t$
$v_{02}-\frac{gt}{2}=0$,
$2v_{02}-gt=0$,
$t=\frac{2v_{02}}{g}$,
$t=\frac{2 \cdot 15}{10}=3$ с.
Ответ: 3 с.