Задача. Тело свободно падает с высоты 196 м. Найдите среднюю скорость падения на второй половине пути.
Решение. При решении задачи воспользуемся алгоритмом, описанным в теоретической справке к разделу «Прямолинейное равноускоренное движение».
1. Будем считать, что в течении всего времени движения тело двигалось равноускоренно с ускорением равным ускорению свободного падения, т.к. в задаче не описано действие сил сопротивления (в таких случаях мы по умолчанию считаем, что они отсутствуют). Чтобы узнать среднюю скорость, необходимо знать пройденный путь и время движения на участке. Путь пройденный на второй половине пути $l=s_1=\frac{s}{2}$, Время движения можно найти из следующих соображений. Сначала узнать время движения $t$ на всем участке пути, затем узнать время движения $t_1$ на первой половине пути. Время движения на втором участке пути будет равно $t_2=t-t_1$. Условие «Тело падает свободно…» означает, что начальная скорость тела равна нулю.
2. Выполним чертеж. Координатную ось направим вниз в направлении движения тела.
3. Запишем уравнение перемещения в проекциях на координатную ось, которая нам пригодится для решения задачи
$s_{x}=v_{0x}t+\frac{g_xt^2}{2}$.
4. Находим проекции векторов на координатные оси. С учетом введенных обозначений
$s=\frac{gt^2}{2}$,
$s_1=\frac{gt_1^2}{2}$.
5. Из первой формулы находим время движения тела на всем участке пути, для этого сначала домножим обе части уравнения на 2
$2s=gt^2 \Rightarrow t^2=\frac{2s}{g}$,
$t=\sqrt{\frac{2s}{g}}$,
$t=\sqrt{\frac{2 \cdot 196}{10}} \approx 6,26$ с.
Аналогично, для времени движения на первом участке
$l=s_1=\frac{196}{2}=98$ м,
$t_1=\sqrt{\frac{2s_1}{g}}$,
$t=\sqrt{\frac{2 \cdot 98}{10}} \approx 4,43$ с.
Время движения на втором участке $t=6,26 — 4,43 =1,83$ с. Находим среднюю скорость движения на втором участке пути
$v_{cp}=\frac{l}{t_2}$,
$v_{cp}=\frac{98}{1,83} \approx 53,55$ м/с.
Ответ: примерно 53,55 м/с.
Примечание. Задачу можно было решить иным способом. Если при равноускоренном движении тело не меняет направления движения, то путь равен перемещению. Воспользовавшись формулой перемещения (укажем ее в модулях)
$s=\frac{v+v_0}{t} \cdot t$,
можем получить формулу для нахождения пути в этом случае
$v_{cp}=\frac{s}{t}=\frac{\frac{v+v_0}{2} \cdot t}{t}=\frac{v+v_0}{2}$.
В этом случае, для решения задачи, нам потребовалось бы найти скорость тела в начале второй половины пути и в ее конце.