Задача. С какой высоты падало тело, если в последнюю секунду падения оно прошло путь 45 м?
Решение. При решении задачи воспользуемся алгоритмом, описанным в теоретической справке к разделу «Прямолинейное равноускоренное движение».
1. Будем рассматривать перемещение тела на двух участках: перемещение за последнюю секунду и перемещение до последней секунды. Чтобы решить задачу необходимо знать минимум три величины из пяти, характеризующих движение. На первом участке нам известна начальная скорость, $v_0=0$ м/с, т.к. камень падает свободно и ускорение. Мы найдем начальную скорость на участке движения за последнюю секунду, т.к. на этом участке мы знаем перемещение, ускорение и время движения. Начальная скорость на этом участке — конечная скорость на первом участке. Это будет третья известная величина на первом участке и тогда мы сможем найти перемещение в первые секунды движения. Краткая запись условия: $v_0=0$ м/с, $s_2=45$ м, $\Delta t=1$ c.
2. Выполним чертеж. Координатную ось направим вниз в направлении движения тела.
3. Запишем уравнение перемещения в проекциях на координатную ось
$s_x=\frac{v_x^2-v_{0x}^2}{2g_x}$,
$s_{x}=v_{0x}t+\frac{g_xt^2}{2}$.
4. Находим проекции векторов на координатные оси, с учетом введенных обозначений
$s_1=\frac{v^2}{2g}$,
$s_2=vt+\frac{g \Delta t^2}{2}$.
5. Из второго уравнения находим скорость $v$
$2s_2=2v \Delta t+g \Delta t^2$,
$2s_2-g \Delta t^2=2v \Delta t$,
$v=\frac{2s_2-g \Delta t^2}{2 \Delta t}$,
$v=\frac{2 \cdot 45-10 \cdot 1^2}{2 \cdot 1}=40$ м/с.
Перемещение тела за первые секунды
$s_1=\frac{40^2}{2 \cdot 10}=80$ м.
Перемещение тела за все время движения $H=s_1+s_2$
$H=80+45=125$ м.
Ответ: 125 м.