Задача. С высоты 3,2 м начинает падать без начальной скорости маленький шарик. Одновременно другой шарик брошен вверх с поверхности земли с начальной скоростью в 1,5 раза меньшей, чем имел бы первый шар при падении на землю. На какой высоте шары столкнутся?
Решение. При решении задачи воспользуемся алгоритмом, описанным в теоретической справке к разделу «Прямолинейное равноускоренное движение».
1. Решение задачи можно разбить на два этапа. На первом этапе необходимо рассмотреть движение свободно падающего тела отдельно на всем участке пути $s=3,2$ м, зная его начальную скорость, а также ускорение и перемещение, найти его скорость в момент падения. На втором этапе рассмотреть совместное перемещение тел до встречи и поступить также, как при решении задачи К166. Краткая запись условия: $v=1,5v_{02}$, $v=0$ м/с.
2. Выполним чертеж. Систему отсчета свяжем с землей. Выполним два отдельных рисунка. На первом покажем свободное падение тела. В этом случае координатную ось направим вниз, т.е. по направлению движения тела. И выполним рисунок, на котором покажем совместное движение первого и второго тел до момента встречи. В этом случае координатную ось также направим вниз.
3. На первом этапе, для нахождения конечной скорости, нам понадобится формула
$s_x=\frac{v_x^2-v_{0x}^2}{2g_x}$.
На втором этапе, для составления уравнения, пригодится формула, которая в общем виде имеет вид
$s_{x}=v_{0x}t+\frac{g_x t^2}{2}$.
4. Находим проекции векторов на координатные оси с учетом обозначений. На первом этапе движения
$s=\frac{v^2}{2g}$.
На втором этапе
$s_1=\frac{gt^2}{2}$,
$-s_2=-v_{02}t+\frac{gt^2}{2} \Rightarrow s_2=v_{02}t-\frac{gt^2}{2}$.
5. Из первого уравнения находим конечную скорость свободно падающего тела
$2gs=v^2$,
$v=\sqrt{2gs}$,
$v=\sqrt{2 \cdot 10 \cdot 3,2}=8$ м/с.
Составим уравнение, используя условие
$s_1+s_2=s$,
и решим его
$\frac{gt^2}{2}+v_{02}t-\frac{gt^2}{2}=s$,
$v_{02}t=s$.
Так как $v_{02}=\frac{v}{1,5}$, то уравнение перепишется в виде
$\frac{v}{1,5} \cdot t=s$.
Из него находим время встречи тел
$t=\frac{1,5s}{v}$,
$t=\frac{1,5 \cdot 3,2}{8}=0,6$ с.
Перемещение $s_1$ свободно падающего тела
$s_1=\frac{10 \cdot 0,6^2}{2}=1,8$ м.
Высота, на которой столкнутся тела
$h=s_2=s-s_1$,
$h=3,2-1,8=1,4$ м.
Ответ: 1,4 м.