Задача. С крыши дома через каждые $\tau =0,2$ с падают капли воды. На каком расстоянии друг от друга будут находиться первая и четвертая капли в момент отрыва десятой капли? С какой скоростью первая капля движется относительно четвертой?
Решение. При решении задачи воспользуемся алгоритмом, описанным в теоретической справке к разделу «Прямолинейное равноускоренное движение».
1. Нетрудно заметить, что время, через которое происходит отрыв $n$-й капли будет равно $t=(n-1) \tau$. Например, вторая капля отрывается через время $t_2=0,2$ с, третья через $t_3=2 \cdot 0,2=0,4$ с и так далее. К моменту отрыва 10 капли прошло времени $t=9 \cdot 0,2=1,8$ с (это и будет время движения первой капли). Четвертая капля отрывается через $t_4=3 \cdot 0,2 =0,6$ с после отрыва первой капли. Поэтому к моменту отрыва десятой капли, она будет двигаться $t’=t-t_4$, $t’=1,8-0,6=1,2$ с. Теперь остается только посчитать перемещения тел за указанные промежутки времени и найти разность этих перемещений. При решении задачи следует учесть, что начальная скорость движения тел равна нулю. Для нахождения относительной скорости одной капли относительно другой следует учесть, что если тела движутся в одном направлении, то относительная скорость будет равна разности их скоростей.
2. Выполним чертеж. Систему отсчета свяжем с землей. Координатную ось направим вниз.
3. Уравнение перемещения в общем виде
$s_x=v_{0x}t+\frac{g_xt^2}{2}$.
4. Находим проекции векторов на координатные оси
$s_1=\frac{g \Delta t^2}{2}$,
$s_2=\frac{g t’^2}{2}$.
5. Находим перемещения тел
$s_1=\frac{10 \cdot 1,8^2}{2}=16,2$ м,
$s_2=\frac{10 \cdot 1,2^2}{2}=7,2$ м.
Расстояние между телами $L=s_1-s_2$, $L=16,2-7,2=9$ м.
Скорость первой капли относительно второй
$\vec{v}_{12}=\vec{v}_1-\vec{v}_2$.
Так как тела движутся равноускоренно с ускорением свободного падения, то
$\vec{v}_1=\vec{v}_0+\vec{g}t=\vec{g}t$,
$\vec{v}_2=\vec{v}_0+\vec{g}t’=\vec{g}t’$.
Тогда относительная скорость
$\vec{v}_{12}=\vec{g}t-\vec{g}t’=\vec{g}(t-t’)$.
После нахождения проекций на координатную ось $x$, получим
$v_{12}=g(t-t’)$,
$v_{12}=10 \cdot (1,8-1,2)=6$ м/с.
Ответ: 9 м и 6 м/с.