Задача. В момент времени t = 0 тело (материальная точка) брошено горизонтально. В таблице приведены результаты измерения координат тела x и y в зависимости от времени наблюдения. Пользуясь данными таблицы ответьте на вопросы.
1) Чему равна дальность полета тела и высота с которой было брошено тело? Чему равно время падения?
2) Чему равна начальная скорость с которой было брошено тело? Какой угол с горизонтом составляет вектор скорости тела в момент времени 1,4 с? Какой угол составляет вектор скорости с вектором ускорения в момент падения на землю?
3) Найти проекции перемещения тела за 0,8 с и за все время движения, а также модули перемещений. Какой угол составляют векторы перемещения с горизонтом в указанное время?
4) Напишите уравнение траектории.
Решение. 1) Высота $h$ с которой было брошено тело — 20 м, это координата $y$ в момент начала движения $t=0$ (в момент броска). Дальность полета определяется из следующих соображений: когда тело упадет на поверхность и перестанет двигаться, его координата $y$ станет равной нулю. Это произойдет в момент времени $t=2$ с (это время, кстати, и будет временем падения тела). В этот момент времени горизонтальная координата $x$ и будет равна дальности полета, т.е. $L=14$ м.
2) Начальную скорость можно найти из уравнения горизонтальной координаты $x=v_0t$
$v_0=\frac{x}{t}$,
Для расчета можно взять любые значения времени и координаты, например,
$v_0=\frac{14}{2}=7$ м/с.
Для нахождения угла наклона вектора скорости к горизонту воспользуемся формулой (см. формулу 7 теоретической справки)
$tg\alpha=\frac{gt}{v_0}$,
$tg\alpha=\frac{10 \cdot 1,4}{7}=2$,
$\alpha= arctg \: 2\approx 63^{\circ}$.
Найдем, вначале, какой угол составляет с горизонтом вектор скорости в момент падения
$tg\alpha_1=\frac{10 \cdot 2}{7} \approx 2,86$,
$\alpha_1= arctg \: 2,86 \approx 71^{\circ}$.
Из рисунка видно, что угол $\alpha_2$ между вектором скорости и ускорения равен
$\alpha_2 =90^{\circ}-71^{\circ}=19^{\circ}$.
3) Проекции перемещений найдем по формулам
$s_x=x-x_0$,
$s_y=y-y_0$.
Проекции перемещения к моменту времени 0,8 с
$s_x=5,6-0=5,6$ м,
$s_y=16,8-20=-3,2$ м.
Проекции перемещения за все время движения
$s_x=14-0=14$ м,
$s_y=0-20=-20$ м.
Модуль перемещения можно найти через проекции по формуле $s=\sqrt{s_x^2+s_y^2}$. Перемещение за время 0,8 с
$s=\sqrt{5,6^2+(-3,2)^2} \approx 6,45$ м.
Перемещение за все время движения
$s=\sqrt{14^2+(-20)^2}\approx 24,41$ м.
Угол наклона вектора перемещения к горизонту найдем через проекции
$tg \beta =\frac{|s_y|}{s_x}$.
Угол наклона к моменту времени 0,8 с
$tg \beta_1 =\frac{|-3,2|}{5,6} \approx 0,57$,
$\beta_1 = arctg\: 0,57 \approx 35^{\circ}$.
Угол наклона вектора перемещения за все время движения
$tg \beta_2 =\frac{|-20|}{14} \approx 1,43$,
$\beta_2 = arctg\: 1,43 \approx 55^{\circ}$.
4) Уравнения траектории падающего тела имеет вид (см. теоретическую справку)
$y=h-\frac{g}{2v_0^2}x^2$,
$y=20-\frac{10}{2 \cdot 7^2}x^2=80-\frac{5}{49} x^2$.