Задача. На тело массой $m = 2$ кг в момент времени $t_0 = 0$ с начала действовать сила $F= 2t$, направленная под углом $\alpha =30^{\circ}$ к горизонту. Найдите зависимость силы трения от времени, если коэффициент трения между телом и столом $\mu= 0,4$. В какой момент времени тело оторвется от поверхности стола? Постройте график зависимости силы трения от времени.
Решение. 1. Систему отсчета свяжем с поверхностью Земли, такая система отсчета является инерциальной.
2. Выполним чертеж с указанием всех сил, действующих на тело.
3. Запишем второй закон Ньютона и найдем проекции на координатные оси. Нас интересует интервал времени в течении которого тело покоится $a=0$ и момент времени когда тело начинает движение. В этот момент времени, мы будем считать, тело начинает двигаться равномерно, т.е. ускорение также равно нулю
$\vec{N}+m\vec{g}+\vec{F}_{mp}+\vec{F}=0$,
$F\, cos\, \alpha -F_{mp}=0 \Rightarrow F_{mp}=F\, cos\, \alpha$,
$N+F\, sin\, \alpha-mg=0 \Rightarrow N=mg-F\, sin\, \alpha$.
4. Согласно закону Амонтона-Кулона модуль силы трения скольжения (в момент начала движения и далее) равен $F_{mp}= \mu N= \mu (mg-F\, sin\, \alpha)$.
5. Кинематические уравнения при решении задачи не требуются.
6. Итак, в момент начала движения имеем равенство
$F\, cos\, \alpha=\mu (mg-F\, sin\, \alpha)$,
$2t\, cos\, \alpha=\mu (mg-2t\, sin\, \alpha)$,
$2t\, cos\, \alpha=\mu mg-2t \mu\, sin\, \alpha$,
$2t\, cos\, \alpha+2t \mu\, sin\, \alpha=\mu mg$,
$2t(cos\, \alpha+ \mu\, sin\, \alpha)=\mu mg$,
$t=\frac{\mu mg}{2(cos\, \alpha+ \mu\, sin\, \alpha)}$,
$t=\frac{0,4 \cdot 2 \cdot 10}{2 \cdot (0,5\sqrt{3}+ 0,4 \cdot 0,5)}\approx 3,75$ с.
При построении графика следует учитывать, что до найденного момента времени $t=8$ с, тело покоилось. Значит на него действовала сила трения покоя модуль которой, из второго закона Ньютона, подчиняется зависимости $F_{mp}=F\, cos\, \alpha=(2cos\, \alpha) t$. После того как тело начинает движение, на него действует сила трения скольжения, модуль которой не зависит от внешней силы и равен
$F_{mp}= \mu (mg-F\, sin\, \alpha)= \mu (mg-2t\, sin\, \alpha)$,
$F_{mp}= 0,4 \cdot (2 \cdot 10-2 \cdot 3,75 \cdot 0,5)=6,5$ Н.
Ответ: 3,75 с.