Задача. Тело помещают первый раз на наклонную плоскость с углом наклона 30°, а второй раз — на наклонную плоскость с углом наклона 60°. Коэффициент трения между телом и плоскостью в обоих случаях равен 0,7. В каком случае действует большая сила трения и во сколько раз?
Решение. Выясним вначале при каком значении угла тело начнет движение, так как не исключен вариант, что в первом случае тело покоится, а значит на него действует трение покоя, модуль которого нельзя находить через закон Амонтона-Кулона, а следует искать из второго закона Ньютона. При решении задачи будем пользоваться алгоритмом решения задач по динамике, приведенном в пункте «Обобщающая таблица «Силы в механике». Алгоритм решения задач по динамике«. Будем считать, что в момент соскальзывания тело начинает двигаться равномерно.
1. Систему отсчета свяжем с наклонной плоскостью. Очевидно, что она неподвижна относительно Земли (иное было бы оговорено в условии задачи), поэтому такая система отсчета является инерциальной.
2. Выполним чертеж с указанием всех сил, действующих на тело при его движении по наклонной плоскости вверх.
3. Запишем второй закон Ньютона и найдем проекции векторов на координатные оси
$m\vec{g}+\vec{N}+\vec{F}_{mp}=0$,
$mg\, sin\, \gamma -F_{mp}=0$, (1)
$N-mg\, cos\, \gamma =0$. (2)
4. Согласно закону Амонтона-Кулона $F_{mp}=\mu N$. Из уравнения (2) $N=mg\, cos\, \gamma$, а значит $F_{mp}=\mu mg\, cos\,\gamma$.
5. Кинематические величины при решении задачи не требуются.
6. Выражение, полученное в пункте 4 для модуля силы трения, подставляем во второй закон Ньютона и находим угол
$mg\, sin\, \gamma -\mu mg\, cos\, \gamma =0$,
$sin\, \gamma -\mu \, cos\, \gamma =0$,
$sin\, \gamma =\mu \, cos\, \gamma$,
$\mu =\frac{sin\, \gamma}{\, cos\, \gamma }= tg \gamma$,
$\gamma=arctg\mu$,
$\gamma=arctg \, 0,7\approx 35^{\circ}$.
То есть движение начнется при угле наклона в 35 градусов. Получается, что при уле наклона $\alpha =30^{\circ}$ тело покоится и на него действует сила трения покоя. Тогда, модуль силы трения покоя можно найти из уравнения (1), заменив угол $\gamma$ на угол $\alpha$, так как вид уравнения не меняется, меняется лишь угол наклона вектора силы тяжести к оси $y$ (вы это можете проверить самостоятельно записав второй закон Ньютона и найти проекции векторов на координатные оси в этом случае)
$mg\, sin\, \alpha -F_{mp1}=0$,
$mg\, sin\, \alpha =F_{mp1}$.
При угле наклона $\beta =60^{\circ}$ тело уже будет двигаться с ускорением и на него действует сила трения скольжения, модуль которой можно найти также как в пункте 4, заменив лишь угол наклона $\gamma$ на угол $\beta$ из тех же соображений что и в предыдущем абзаце
$F_{mp2}=\mu mg\, cos\,\beta$.
Сравниваем силы трения
$\frac{F_{mp1}}{F_{mp2}}=\frac{mg\, sin\, \alpha}{\mu mg\, cos\,\beta}=\frac{sin\, \alpha}{\mu \, cos\,\beta }=\frac{\frac{1}{2} }{0,7 \cdot \frac{1}{2}}\approx 1,43$.
Ответ: сила трения покоя при угле наклона $\alpha =30^{\circ}$ примерно в 1,43 раза больше силы трения скольжения при угле наклона $\beta =60^{\circ}$.