Задача. Поезд массой 3000 т движется вниз под уклон, равный 0,003. Коэффициент сопротивления движению равен 0,008. С каким ускорением движется поезд, если сила тяги локомотива равна: а) 300 кН; б) 150 кН; в) 90 кН?
Решение. При решении задачи будем пользоваться алгоритмом решения задач по динамике, приведенном в пункте «Обобщающая таблица «Силы в механике». Алгоритм решения задач по динамике«. Уклон равен отношению высоты наклонной плоскости (горы) к ее длине и равен синусу угла наклона. Косину угла найдем из основного тригонометрического тождества
$sin^2\alpha +cos^2\alpha =1\Rightarrow cos\, \alpha =\sqrt{1-sin^2\alpha}$,
$cos\, \alpha =\sqrt{1-0,003^2}\approx 1$.
1. Систему отсчета свяжем с Землей. Такая система отсчета является инерциальной.
2. Выполним чертеж с указанием всех сил, действующих на тело при его движении по наклонной плоскости.
3. Запишем второй закон Ньютона и найдем проекции векторов на координатные оси
$m\vec{g}+\vec{N}+\vec{F}+\vec{F}_{mp}=m \vec{a}$,
$F+mg\, sin\, \alpha -F_{mp}=ma$, (1)
$N-mg\, cos\,\alpha =0$. (2)
4. Согласно закону Амонтона-Кулона $F_{mp}=\mu N$. Из уравнения (2) $N=mg\, cos\, \alpha$, а значит $F_{mp}=\mu mg\, cos\, \alpha$.
5. Кинематические величины при решении задачи не требуются.
6. Подставляем выражение полученное в пункте 4 во второй закон Ньютона и находим модуль ускорения
$a=\frac{F}{m}+g\, sin\, \alpha -\mu g\, cos\, \alpha$,
$a=\frac{F}{m}+g(\, sin\, \alpha -\mu \, cos\, \alpha)$.
а) При $F=300000$ Н
$a=\frac{300000}{3000000}+10 \cdot (0,003 -0,008 \cdot 1)=0,05$ м/с2.
б) При $F=150000$ Н,
$a=\frac{150000}{3000000}+10 \cdot (0,003 -0,008 \cdot 1)=0$ м/с2.
Поезд движется равномерно.
в) При $F=90000$ Н,
$a=\frac{90000}{3000000}+10 \cdot (0,003 -0,008 \cdot 1)=-0,2$ м/с2.
Поезд не сможет передвигаться вдоль уклона.
Ответ: a) 0,05 м/с2; б) 0 м/с2; в) поезд неподвижен ($a=0$ м/с2).