Задача. К верхнему концу гладкого лёгкого стержня, наклонённого под углом $\alpha$ к горизонтали, подвешен груз массой $m$. Нижний конец стержня упирается в угол между стеной и полом. Стержень удерживается в равновесии с помощью горизонтально расположенного троса, прикреплённого к середине стержня и к стене. Чему равен модуль силы, действующей на нижний конец стержня?
Решение. При решении задачи будем пользоваться алгоритмом решения задач по статике.
1. Систему отсчета свяжем с Землей, такая система отсчета является инерциальной.
2. Выполним чертеж с указанием всех сил, действующих на тело. Направление действия силы реакции, действующей на нижний конец стержня однозначно не определено, можно лишь указать общее направление — вправо и вверх.
3. Записываем первое условие равновесия для каждого тела
$\vec{N}+\vec{T}_1+\vec{T}=0$,
$\vec{T}’+m\vec{g}=0$.
Так как направление действия силы реакции однозначно не определено, то проекции этой силы на координатные оси не находим
$N_x-T_1=0$, (1)
$N_y-T=0$, (2)
$T’-mg=0$.
Выделим здесь сразу же два значимых для нас момента. Во-первых, модуль силы реакции можно будет найти через ее проекции на координатные оси по формуле $N=\sqrt{N_x^2+N_y^2}$. Во-вторых сила натяжения нити, к которой подвешен груз, одинакова по модулю во всех ее точка, поэтому $T’=T=mg$ (равенство силы натяжения модулю силы тяжести следует из последнего уравнения).
4. Для нахождения модуля силы реакции, судя по уравнению (1), нам требуется знать выражение, определяющее модуль силы натяжения $T_1$. Поэтому в качество оси вращения выберем точку опоры стрежня об угол, так мы избавимся от не нужного нам пока что и неизвестного модуля силы реакции в правиле моментов.
5. На рисунке покажем плечи сил, относительно выбранной оси. Помним, что плечо силы равно длине перпендикуляра, опущенного из оси вращения на линию действия силы.
Плечи сил выразим из очевидных геометрических соотношений. Сила тяжести, действующая на стержень, прикладывается к его центру, поэтому
$\frac{l_1}{\frac{l}{2}}=sin\, \alpha\Rightarrow l_1=\frac{l}{2}\, sin\, \alpha$.
Из аналогичных соображений находим плечо $l_2$
$\frac{l_2}{l}=cos\,\alpha \Rightarrow l_2=l\, cos\,\alpha$.
Запишем правило моментов, учитывая то, куда вращает стержень каждая сила относительно выбранной оси
$Tl_2-T_1l_1=0$.
6. Подставляем все полученные результаты в правило моментов и находим модуль интересующей нас силы
$mg \cdot l\, cos\,\alpha-T_1 \cdot \frac{l}{2}\, sin\, \alpha=0$,
$2mg \, cos\,\alpha-T_1 \, sin\, \alpha=0$,
$2mg \, cos\,\alpha=T_1 \, sin\, \alpha$,
$T_1= 2mg \, ctg\,\alpha$.
Из уравнений (1) и (2) находим $N_x=T_1$ и $N_y=T$. Теперь находим модуль силы реакции
$N=\sqrt{T_1^2+T^2}=\sqrt{(2mg \, ctg\,\alpha)^2+(mg)^2}=$
$=\sqrt{(mg)^2(4\, ctg^2\,\alpha+1)}=mg\sqrt{4\, ctg^2\,\alpha+1}$.
Ответ: $N=mg\sqrt{4\, ctg^2\,\alpha+1}$.