Задача. Стержень AB массой $m=10$ кг прикреплен к неподвижной опоре шарниром A и может вращаться в вертикальной плоскости (см. рис.). К концу В стержня прикреплена нить. Нить перекинута через блок C и к ней подвешен груз массой $m_1=2,5$ кг. Оси блока C и шарнира A расположены на одной вертикали, причем $AC=AB$. Найдите, при каком угле $\alpha$ между стержнем и вертикалью система будет в равновесии.
Решение. При решении задачи будем пользоваться алгоритмом решения задач по статике.
1. Систему отсчета свяжем с Землей, такая система отсчета является инерциальной.
2. Выполним чертеж с указанием всех сил, действующих на тело. Направление действия силы реакции, действующей на верхний конец стержня однозначно не определено, можно лишь предположить, что общее направление — вправо и вверх (против действия силы тяжести и силы натяжения троса $\vec{T}_1’$).
3. Записывать первое условие равновесия для стержня не рационально, т.к. в этом случае появляется две дополнительные неопределенности в виде неизвестно куда направленного вектора силы реакции. Поэтому ограничимся записью первое условие равновесия для тела массой $m_1$
$\vec{T}_1+m_1\vec{g}=0$.
С учетом проекций векторов на вертикальную ось
$T_1-m_1g=0\Rightarrow T_1=m_1g$.
Это важное уравнение. Поскольку стержень и груз связаны одной и той же нитью, то $T_1’=T_1=m_1g$.
4. Так как нам ничего не известно о направлении силы реакции, то от нее нужно избавляться. Поэтому в качество оси вращения выберем точку опоры стрежня, так мы избавимся от не нужного нам пока что и неизвестного модуля силы реакции в правиле моментов.
5. На рисунке покажем плечи сил, относительно выбранной оси, а также все дополнительные нужные нам углы. Помним, что плечо силы равно длине перпендикуляра, опущенного из оси вращения на линию действия силы.
Плечи сил выразим из геометрических соотношений. Сила тяжести, действующая на стержень, прикладывается к его центру, поэтому
$\frac{l_2}{\frac{l}{2}}=sin\, \alpha\Rightarrow l_2=\frac{l}{2}\, sin\, \alpha$.
Плечо $l_1$ силы натяжения нити — высота прямоугольного равнобедренного треугольника ABC, которая к тому же является еще и биссектрисой угла $\alpha$. Находим плечо силы $\vec{F}$
$\frac{l_1}{l}=cos\,\frac{\alpha}{2}\Rightarrow l_1=l\, cos\,\frac{\alpha}{2}$.
Запишем правило моментов, учитывая то, куда вращает стержень каждая сила относительно выбранной оси
$mgl_2-T_1’l_1=0$.
6. Подставляем все полученные выражение в правило моментов и находим искомый угол
$mg \cdot \frac{l}{2}\, sin\, \alpha-m_1g \cdot l\, cos\,\frac{\alpha}{2}=0$,
$m\cdot \frac{1}{2}\, sin\, \alpha-m_1 \, cos\,\frac{\alpha}{2}=0$,
$m\cdot \frac{1}{2}\, \cdot 2\, sin\, \frac{\alpha}{2} \cdot cos\frac{\alpha}{2}-m_1 \, cos\,\frac{\alpha}{2}=0$,
$m\, sin\frac{\alpha}{2}-m_1=0$,
$sin\frac{\alpha}{2}=\frac{m_1}{m}\Rightarrow \frac{\alpha}{2}=arcsin\, \frac{m_1}{m}$,
$\alpha=2\, arcsin\, \frac{m_1}{m}$,
$\alpha=2 \cdot \, arccos\, \frac{2,5}{10}\approx 29^{\circ}$.
Ответ: $\alpha\approx 29^{\circ}$.