Задача. Катушка удерживается на наклонной плоскости силой $F$, приложенной к нити, намотанной на катушку. Сила $F$ направлена горизонтально (см. рис.). Масса катушки $m=4$ г, внутренний радиус $r=2$ см, внешний $R=4$ см, угол наклона плоскости к горизонту $\alpha=60^{\circ}$. Найдите силу $F$.
Решение. При решении задачи будем пользоваться алгоритмом решения задач по статике.
1. Выберем систему отсчета связанную с наклонной плоскостью, которая очевидно неподвижна относительно земли, а значит такая СО является инерциальной.
2. Изобразим все силы, действующие на тело.
3. Записывать первое условие равновесия мы не будем, т.к. при этом в уравнениях появляются модули сил трения и реакции, которые нас совершенно не интересуют и от которых можно избавиться, записывая правило моментов.
4. Выберем ось вращения. Рассмотрим равновесие катушки относительно оси, проходящей через точку касания катушки о наклонную плоскость, так как это дает возможность «обнулить» моменты сил реакции и трения.
5. На рисунке покажем плечи сил, относительно выбранной оси. Помним, что плечо силы равно длине перпендикуляра, опущенного из оси вращения на линию действия силы.
Определим плечи сил, используя очевидные соотношения между радиусами катушки и плечами сил. Плечо силы тяжести
$\frac{l_1}{R}=\, sin\, \alpha\Rightarrow l_1=R\, sin\, \alpha$.
Плечо силы $F$
$l_2=r+L$,
где
$\frac{L}{R}=cos\, \alpha \Rightarrow L=R\, cos\, \alpha$.
Тогда $l_2=r+R\, cos\, \alpha$. Запишем второе условие равновесия, учитывая, что сила тяжести вращает стержень по часовой стрелке, а сила $F$ — против часовой
$mg l_1 — Fl_2=0$.
6. Подставляем выражения для плеч и находим модуль искомой силы
$mgR\, sin\, \alpha — F(r+R\, cos\, \alpha)=0$,
$mgR\, sin\, \alpha=F(r+R\, cos\, \alpha)$,
$F=\frac{mgR\, sin\, \alpha}{r+R\, cos\, \alpha}$,
$F=\frac{0,004 \cdot 10 \cdot 0,04 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{0,02+0,04 \cdot 0,5}\approx 0,035$ Н $=35$ мН.
Ответ: $=35$ мН.