Задача. Стержень массой $M=4$ кг согнули посередине и подвесили на нити, привязанной к одному из его концов (см. рис.). Найдите массу груза, который следует прикрепить к другому концу стержня, чтобы середина нижней половины стержня оказалась на одной вертикали с точкой подвеса.
Решение. При решении задачи будем пользоваться алгоритмом решения задач по статике.
1. Выберем систему отсчета связанную с полом, который очевидно неподвижен относительно земли, а значит такая СО является инерциальной.
2. Изобразим все силы, действующие на тело. Сам стержень разобьем на две части, на каждую из которых будет действовать сила тяжести $\frac{Mg}{2}$.
3. Записывать первое условие равновесия не будем, т.к. в систему уравнений войдет сила реакции, которая нас вовсе не интересует.
4. Выберем ось вращения. Рассмотрим равновесие стержня относительно оси, проходящей через точку его подвеса, это дает возможность «обнулить» моменты силы реакции $N$ и силы тяжести, действующей на нижнюю часть стержня, т.к. по условию середина нижней половины стержня оказалась на одной вертикали с точкой подвеса.
5. Найдем плечи сил, относительно выбранной оси. Ранее мы их уже показали на рисунке. Итак
$\frac{l_1}{\frac{l}{2}}=cos\,\alpha\Rightarrow l_1=\frac{l}{2}\,cos\,\alpha$,
$\frac{l_2}{\frac{l}{2}}=sin\,\alpha\Rightarrow l_2=\frac{l}{2}\,sin\,\alpha$.
Запишем второе условие равновесия (правило моментов), учитывая куда вращает каждая сила стержень, относительно выбранной оси
$mgl_2-\frac{Mg}{2} \cdot l_1=0$.
6. Подставляем выражения для плеч и находим искомую массу
$mg \cdot \frac{l}{2}\,sin\,\alpha-\frac{Mg}{2} \cdot \frac{l}{2}\,cos\,\alpha=0$,
$m \cdot sin\,\alpha-\frac{M}{2} \cdot cos\,\alpha=0$,
$m \cdot sin\,\alpha=\frac{M}{2} \cdot cos\,\alpha$,
$m=\frac{M}{2} \cdot ctg\,\alpha$.
Чтобы найти котангенс угла $\alpha$, рассмотрим прямоугольный треугольник $\Delta OAB$
$ctg\,\alpha=\frac{AB}{OA}=\frac{\frac{l}{2}}{l}=\frac{1}{2}$.
Искомая масса
$m=\frac{4}{2} \cdot \frac{1}{2}=1$ кг.
Ответ: 1 кг.