Задача. Однородный брусок AB массой $M$ постоянного прямоугольного сечения лежит на гладкой горизонтальной поверхности стола, свешиваясь с него менее чем наполовину (см. рисунок). К правому концу бруска прикреплена лёгкая нерастяжимая нить. Другой конец нити закреплён на меньшем из двух дисков идеального составного блока. На большем диске этого блока закреплена другая лёгкая нерастяжимая нить, на которой висит груз массой $m=1$ кг. Диски скреплены друг с другом, образуя единое целое, где $R=10$ см, $r=5$ см. Сделайте рисунок с указанием сил, действующих на брусок $M$, блок и груз $m$. Найдите минимальное значение $M$, при котором система тел остаётся неподвижной. Обоснуйте применимость законов, используемых при решении задачи.
Решение. При решении задачи будем пользоваться алгоритмом решения задач по статике.
1. Систему отсчета свяжем с Землей, такая система отсчета является инерциальной.
2. Выполним чертеж с указанием всех сил, действующих на тела системы.
3. В равновесии здесь находится три тела: стержень, блок и груз массой $m$. Записывать первое условие равновесия для стержня мы не будем, так как получим в уравнении не нужную нам силу реакции. По той же причине (нам не интересует модуль силы $F$) не будем записывать и первое условие равновесия для блока. А вот для груза первое условие равновесия мы запишем. Это позволит нам выразить модуль силы натяжения нити через силу тяжести, действующую на груз. Очевидно, что модуль силы натяжения нити нам пригодится при решении задачи. Итак, первое условие равновесия в векторном виде и в проекциях
$\overrightarrow{T}_1-m\overrightarrow{g}=0$,
$T_1-mg=0\Rightarrow T_1=mg$.
Заметим также сразу, что ввиду невесомости нити и идеальности блока, $T’_1=T_1$, $T’_2=T_2$.
4. Равновесие стержня будем рассматривать относительно оси, проходящей через точку А. Поясним почему. Мы находим минимальную массу, при которой стержень еще находится в равновесии. При этом он занимает горизонтальное положение, но опирается на стол в точке А, поэтому и сила реакции действует на стержень в этой точке. Проведя ось вращения, через точку А, перпендикулярно ей, мы избавляемся от написания момента силы реакции в правиле моментов (момент силы реакции будет равен нулю). Равновесие блока будем рассматривать относительно оси, относительно которой вращается блок (так мы исключаем из правила моментов не нужную нам силу $F$).
5. Находим плечи сил, относительно выбранных нами осей. Помним, что плечо силы равно длине перпендикуляра, опущенного из оси вращения на линию действия силы. Очевидно, что плечо силы тяжести $M\overrightarrow{g}$ будет равно половине длины стержня, т.к. стержень однородный и центр тяжести центра находится в его середине, т.е. $l_1=\frac{l}{2}$. Плечом силы натяжения нити $\overrightarrow{T}_2$ будет отрезок равны длине всего стержня, т.е. $l_2=l$. Запишем правило моментов, учитывая то, куда вращает стержень каждая сила относительно выбранной оси (мы принимаем что, если сила вращает тело по часовой стрелке, то ее момент положительный, если против, то отрицательный)
$Mg \cdot \frac{l}{2}-T_2\cdot l=0$,
$\frac{Mg}{2}-T_2=0$.
Плечами сил натяжения, действующих на блок, очевидно, являются радиусы блоков. Запишем правило моментов, учитывая то, куда вращает блок каждая сила относительно его оси
$T_1’R-T_2’r=0$.
Преобразуем это выражение, учтя все что было написано выше
$T_1R-T_2r=0$,
$mgR-T_2r=0$,
$mgR=T_2r\Rightarrow T_2=\frac{mgR}{r}$,
$T_2=\frac{1 \cdot 10 \cdot 10}{5}=20$ Н.
Вернемся к последнему уравнению, содержащему неизвестную массу стержня и найдем ее
$\frac{Mg}{2}=T_2$,
$M=\frac{2T_2}{g}$,
$M=\frac{2 \cdot 20}{10}=4$ кг.
Ответ: 4 кг.
Обоснование к решению:
1. Систему отсчета, связанную с Землей, будем считать инерциальной (ИСО).
2. Брусок перед отрывом его правого края от поверхности стола будем считать твердым телом с осью вращения, проходящей перпендикулярно плоскости рисунка через точку A. Условие равновесия относительно вращения твердого тела на оси — равенство нулю суммы моментов сил, приложенных к телу, относительно этой оси.
3. Нити нерастяжимы, поэтому, если покоится брусок, то покоятся и все остальные тела системы.
4. Нити легкие, поэтому величина силы натяжения каждой нити в любой ее точке одна и та же.
5. Блок идеальный (трения в осях нет, масса блока пренебрежимо мала). Поэтому условие равновесия блока — равенство нулю суммы моментов сил натяжения нитей относительно оси блока.
6. Груз может двигаться только поступательно вдоль вертикальной оси Oy, лежащей в плоскости рисунка. Поэтому для груза используем модель материальной точки и применим второй закон Ньютона. Вследствие этого условие равновесия — сумма приложенных к грузу сил равна нулю.