Пусть тело брошено под некоторым углом $\alpha$ к горизонту с начальной скоростью, равной по модулю $v_0$. Начало координат поместим в точку бросания. Координатные оси направим следующим образом: ось Oy — вертикально вверх, ось Ox — горизонтально, в направлении броска. Для этого движения не будем отдельно рассматривать нахождение модуля вектора перемещения и скорости, т.к. все рассуждения в этом случае аналогичны тем, что были проведены нами при рассмотрении движения тела брошенного горизонтально. Найдем только кинематические уравнения, характеризующие это движение, а также установим формулы, позволяющие вычислить максимальную высоту и дальность полета.
Напишем уравнения движения
$x=x_0+v_{0x}t+\frac{g_x t^2}{2} \Rightarrow x=v_0 cos \alpha t$,
$y=y_0+v_{0y}t+\frac{g_y t^2}{2} \Rightarrow y=v_0 sin \alpha t- \frac{g t^2}{2}$.
Здесь учтено, что из прямоугольного треугольника $OAB$ имеем $OA=v_0, OB=v_{0x}, AB=v_{0y}$
$cos \alpha =\frac{OB}{OA}=\frac{v_{0x}}{v_0}\Rightarrow v_{0x}=v_0 cos \alpha$,
$sin \alpha =\frac{AB}{OA}=\frac{v_{0y}}{v_0}\Rightarrow v_{0y}=v_0 sin\alpha$.
Заметим также, что данное движение, как и предыдущее, можно представить как сумму двух: вдоль оси Oy — равноускоренное с постоянным ускорением свободного падения $g$, вдоль оси Ox — равномерное. Получим уравнение траектории движения. Для этого вначале выразим время из координаты $x$, а затем подставим полученное выражение в уравнение координаты $y$ и выполним преобразования
$\frac{x}{v_0 cos \alpha}= t$,
$y=v_0 sin \alpha \cdot \frac{x}{v_0 cos \alpha} — \frac{g }{2}\frac{x^2}{v_0^2 cos^2 \alpha}= x\, tg\, \alpha -\frac{g}{2v_0^2 cos^2 \alpha}\, x^2$.
Траекторией движения в данном случае также является парабола.
Найдем наибольшую высоту на которую поднимается тело. В наивысшей точке траектории скорость, направленная по касательной, будет направлена горизонтально, значит ее проекция на вертикальную ось будет равна нулю
$v_y=v_{0y}+g_y t = v_0 sin \alpha — gt=0$,
отсюда время подъема на максимальную высоту $t=\frac{v_0 sin \alpha }{g}$. Подставим это значение времени в уравнение координаты y и найдем искомую высоту
$H=y=v_0 sin \alpha \cdot \frac{v_0 sin \alpha }{g}- \frac{g \left ( \frac{v_0 sin \alpha }{g} \right )^2}{2}=\frac{v_0^2 sin^2\alpha }{g}-\frac{v_0^2 sin^2\alpha }{2g}=\frac{v_0^2 sin^2\alpha }{2g}$.
Время полета тела будет равно удвоенному времени полета, т.е. $t=\frac{2v_0 sin \alpha }{g}$ (данное утверждение можно доказать различными способами, например, приравняв координату y к нулю, так как в момент падения она будет равна нулю, и решив соответствующее уравнение), тогда дальность полета можно найти из уравнения координаты x
$L=x=v_0 cos \alpha \cdot \frac{2v_0 sin \alpha }{g}=\frac{2v_0^2 sin \alpha cos \alpha}{g}=\frac{v_0^2 sin 2\alpha}{g}$.
При решении задач будем придерживаться алгоритма, который мы применяли ранее. Кроме того, если решение задачи укладывается в модели описанные выше, то не будем отвлекаться на написание уравнений и нахождение проекций, а будем пользоваться сразу готовыми формулами. Но следует помнить, что, решая задания части 2 ЕГЭ, у вас есть возможность пользоваться только теми формулами, которые указаны в кодификаторе, а там из года в год присутствуют только уравнения координат и нет, например, формул высоты и дальности. В этих случаях нужные формулы прийдется выводить, именно поэтому каждую формулу мы снабдили досточно подробным выводом.