Задача. Тело брошено горизонтально с горы, высота которой 80 м, с начальной скоростью 25 м/с. Найти перемещение и угол, который составляет вектор перемещения с горизонтом, между двумя точками полета тела, в которых скорости соответственно равны 30 м/с и 40 м/с.
Краткая запись условия: $h=80$ м; $v_0=25$ м/с; $v_1=30$ м/с; $v_2=40$ м/с.
Решение. При решении задачи воспользуемся алгоритмом, описанным в теоретической справке к разделу «Прямолинейное равноускоренное движение».
1. Модуль перемещения камня (и угол его наклона к горизонту) найдем через координаты начала и конца вектора перемещения, т.е. нам нужно будет знать координаты тела в те моменты времени, когда его скорость равна 30 м/с и 40 м/с соответственно. Чтобы узнать эти координаты, необходимо будет узнать эти моменты времени (делать это придется через формулу модуля скорости, других вариантов нет).
2. Выполним чертеж. Систему отсчета свяжем с землей. Координатную ось $x$ направим вдоль земли, в том же направлении, в котором движется тело. Координатную ось $y$ — вертикально вверх (см. чертеж). На рисунке изобразим ключевой момент, необходимый для решения задачи — вектор скорости тела в какой-либо момент времени.
3. Запишем формулы нахождения проекций скорости на координатные оси
$v_x=v_{0x}+g_x t = v_0$,
$v_y=v_{0y}+g_y t = gt$.
А также уравнение координат
$x=v_0t$,
$y=h-\frac{g t^2}{2}$.
4. Уравнения движения записаны, проекции векторов находить не нужно.
5. Из рисунка видно, что модуль скорости связан с проекциями соотношением $v^2=v_x^2+v_y^2$, тогда
$v^2=v_0^2+g^2t^2$,
$v^2-v_0^2=g^2t^2$,
$t^2=\frac{v^2-v_0^2}{g^2}$,
$t=\frac{\sqrt{v^2-v_0^2}}{g}$.
Тогда координаты тела можно переписать в виде
$x=\frac{v_0\sqrt{v^2-v_0^2}}{g}$,
$y=h-\frac{g }{2} \cdot \frac{v^2-v_0^2}{g^2}=h- \frac{v^2-v_0^2}{2g}$.
Итак, в тот момент времени, когда тело достигнет скорости 30 м/с, координаты тела будут равны
$x_1=\frac{25\sqrt{30^2-25^2}}{10}\approx 41,46$ м,
$y_1=80- \frac{30^2-25^2}{2 \cdot 10}=66,25$ м.
В тот момент времени, когда тело достигнет скорости 40 м/с, координаты тела будут равны
$x_2=\frac{25\sqrt{40^2-25^2}}{10}\approx 78,06$ м,
$y_2=80- \frac{40^2-25^2}{2 \cdot 10}=31,25$ м.
Находим модуль вектора перемещения
$s=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$,
$s=\sqrt{(78,06-41,46)^2+(31,25-66,25)^2}\approx 50,64$ м.
Угол наклона вектора к горизонтальной оси можно найти через его тангенс
$tg \alpha =\frac{|s_y|}{s_x}=\frac{|y_2-y_1|}{x_2-x_1}$,
$tg \alpha =\frac{|31,25-66,25|}{78,06-41,46}\approx 0,956$,
$\alpha = arctg 0,956 \approx 43,7^{\circ}$.
Ответ: $\approx 50,64$ м и $\approx 43,7^{\circ}$.