Задача. С балкона, расположенного на высоте 20 м, бросили вверх мяч под углом 30° от горизонта со скоростью 10 м/с. Направив ось вдоль поверхности земли вправо, а ось вдоль стены дома вверх, написать уравнения зависимости координат от времени $x= x(t)$ и $y= y(t)$ и уравнение траектории $y= y(x)$. Найти: а) координаты мяча через 2 с; б) через какой промежуток времени мяч упадет на землю; в) дальность полета.
Краткая запись условия: $\alpha =30^{\circ}$; $h=20$ м; $v_0=10$ м/с; $t=2$ с.
Решение. Начало координат разместим таким образом, чтобы в момент броска, горизонтальная координата равнялась нулю, а вертикальная — высоте, с которой был произведен бросок. Координатные оси направим следующим образом: ось Oy — вертикально вверх, ось Ox — горизонтально, в направлении броска.
Запишем уравнения зависимостей координат $x(t)$ и $y(t)$ от времени
$x=x_{0}+v_{0x}t+\frac{g_xt^2}{2}$,
$x=v_0 cos \alpha t$;
$y=y_{0}+v_{0y}t+\frac{g_y t^2}{2}$,
$y=h+v_0 sin \alpha t- \frac{g t^2}{2}$.
Для того чтобы составить уравнение траектории камня $y(x)$ выразим из уравнения координаты $x$ время и подставим полученное выражение в уравнение координаты $y$
$t=\frac{x}{v_0 cos \alpha}$,
$y=h+v_0 sin \alpha \cdot \frac{x}{v_0 cos \alpha} — \frac{g }{2}\frac{x^2}{v_0^2 cos^2 \alpha}=h+ x\, tg\, \alpha -\frac{g}{2v_0^2 cos^2 \alpha}\, x^2$.
а) Координаты мяча через 2 с
$x=10 \cdot cos \, 30^{\circ} \cdot 2=20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=10\sqrt{3} \approx 17,32$ м,
$y=20+10 \cdot sin \, 30^{\circ} \cdot 2- \frac{10 \cdot 2^2}{2}=20 \cdot \frac{1}{2}=10$ м.
б) В момент падения тела на поверхность земли, его вертикальная координата равна нулю $y=0$. Чтобы узнать через какой промежуток времени мяч упадет на землю, приравняем уравнение координаты $y$ к нулю и решим это квадратное уравнение относительно неизвестной $t$
$h+v_0 sin \alpha t- \frac{g t^2}{2}=0$,
$2h+2v_0 sin \alpha t- g t^2=0$,
$C=2h,\: B=2v_0 sin \alpha,\: A=- g$,
$D=B^2-4AC=4v_0^2sin^2\alpha -4 \cdot (-g) \cdot 2h=$
$=4(v_0^2sin^2\alpha +2gh)$.
Нас интересует только положительный корень, поэтому время падения будет равно
$t=\frac{-B-\sqrt{D}}{2A}=\frac{-2v_0 sin \alpha-\sqrt{4(v_0^2sin^2\alpha +2gh)}}{2 \cdot (-g)}=\frac{v_0 sin \alpha+\sqrt{v_0^2sin^2\alpha +2gh}}{g}$,
$t=\frac{10 \cdot 0,5+\sqrt{10^2 \cdot 0,5^2 +2 \cdot 10 \cdot 20}}{10}\approx 2,56$ с.
в) Дальность полета — горизонтальная координата в момент падения на землю
$L=x=10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2,56\approx 22,17$ м.
Примечание. Ответы на вопросы в п а) и б) можно было дать, воспользовавшись уравнением траектории. Для этого нужно было приравнять уравнение траектории к нулю и решить его относительно $x$, так бы нашли дальность полета. Затем, зная дальность полета, через уравнение координаты $x$ найти время падения.
Ответ: а) $x \approx 17,32$ м, $y=10$ м; б) $\approx 2,56$ с; $\approx 22,17$ м.