Задача. Маленький шарик роняют с высоты $ℎ = 50$ см на наклонную плоскость, составляющую угол $\alpha =45^{\circ}$ с горизонтом. Найдите расстояние между точками первого и второго ударов шарика о плоскость. Соударения считать абсолютно упругими.
Краткая запись условия: $ℎ = 0,5$ м; $\alpha =45^{\circ}$.
Решение. Рассмотрим отдельно свободное падение шарика и его движение после удара. Координатную ось направим вниз в направлении движения тела.
Запишем уравнение перемещения в проекциях на координатную ось, чтобы найти конечную скорость и формулу нахождения проекции ускорения, чтобы найти время движения
$s_{x}=\frac{v_x^2-v_{0x}^2}{2g_x}$.
Находим проекции векторов на координатные оси
$s=\frac{v^2}{2g}$.
Находим скорость, которую будет иметь шарик перед ударом о плоскость
$v^2=2gs=2gh$,
$v=\sqrt{2gh}$,
Теперь рассматриваем движение шарика после удара. Выберем систему координат и построим траекторию движения тела, как показано на рисунке
Удар упругий — это означает, во-первых, что модуль скорости шарика после удара будет равна модулю скорости шарика после удара. Во-вторых, угол падения шарика на плоскость будет равен углу «отражения» относительно перпендикуляра, проведенного в точку падения к наклонной плоскости. Нетрудно заметить, что этот угол будет равен $\alpha$. Обратим также внимание читателя на то, что угол $\alpha$ откладывается от оси $y$ (в том числе и для вектора ускорения), поэтому проекции начальной скорости и ускорения на эту ось будут с косинусом, а на ось $x$ с синусом Запишем уравнения движения в выбранной системе координат
$x=x_0+v_{0x}t+\frac{g_x t^2}{2} \Rightarrow x=v_0 sin \,\alpha \, t + \frac{g sin \, \alpha \, t^2}{2}$,
$y=y_0+v_{0y}t+\frac{g_y t^2}{2} \Rightarrow y=v_0 cos \, \alpha \, t- \frac{g cos \, \alpha \, t^2}{2}$.
Видно, что для координат точки падения выполняется условие
$v_0 cos \, \alpha \, t- \frac{g cos \, \alpha \, t^2}{2}=0$,
$v_0 — \frac{g t}{2}=0$,
$t= \frac{ 2v_0 }{g}$,
$t= \frac{ 2v_0 }{g}= \frac{ 2\sqrt{2gh} }{g}= 2\sqrt{ \frac{2h} {g}}$.
Теперь найдем искомое расстояние, т.е. координату $x$ в момент падения тела на плоскость
$x=\sqrt{2gh} \cdot sin \,\alpha \cdot 2\sqrt{ \frac{2h} {g}} + \frac{g sin \, \alpha \,\left( 2\sqrt{ \frac{2h} {g}} \right)^2}{2}=4h sin \,\alpha+4h sin \,\alpha=8h sin \,\alpha$,
$x=8 \cdot 0,5 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2} \approx 2,83$ м.
Ответ: $ \approx 2,83$ м.