Задача. Тело свободно падает с высоты $H= 4$ м. На высоте $ℎ = 2$ м оно упруго ударяется о небольшую площадку, закрепленную под углом $\alpha =45^{\circ}$ к горизонту (см. рис.). Найдите время движения тела и его дальность полета.
Решение. Рассмотрим отдельно свободное падение шарика и его движение после удара. Координатную ось направим вниз в направлении движения тела.
Запишем уравнение перемещения в проекциях на координатную ось, чтобы найти конечную скорость и формулу нахождения проекции ускорения, чтобы найти время движения
$s_{x}=\frac{v_x^2-v_{0x}^2}{2g_x}$,
$s_x=v_{0x}t+\frac{g_xt^2}{2}$.
Находим проекции векторов на координатные оси
$s=\frac{v^2}{2g}$,
$s=\frac{gt^2}{2}$.
Находим скорость, которую будет иметь шарик перед ударом о плоскость, учитывая, что перемещение шарика до наклонной плоскости $s=H-h$
$v^2=2gs=2g(H-h)$,
$v=\sqrt{2g(H-h)}$.
Время падения тела найдем из второй формулы
$t_1=t=\sqrt{\frac{2s}{g}}=\sqrt{\frac{2(H-h)}{g}}$,
$t_1=\sqrt{\frac{2 \cdot (4-2)}{10}}\approx 0,63$ с.
Теперь рассматриваем движение шарика после удара. Выберем систему координат и построим траекторию движения тела, как показано на рисунке
Удар упругий — это означает, во-первых, что модуль скорости шарика после удара будет равна модулю скорости шарика после удара. Во-вторых, угол падения шарика на плоскость будет равен углу «отражения» относительно перпендикуляра, проведенного в точку падения к наклонной плоскости. Нетрудно заметить, что этот угол будет равен $\alpha$. Обратим также внимание читателя на то, что угол $\alpha$ откладывается от оси $y$ (в том числе и для вектора ускорения), поэтому проекции начальной скорости и ускорения на эту ось будут с косинусом, а на ось $x$ с синусом Запишем уравнения движения в выбранной системе координат
$x=x_0+v_{0x}t+\frac{g_x t^2}{2} \Rightarrow x=v_0 sin \,\alpha \, t + \frac{g sin \, \alpha \, t^2}{2}$,
$y=y_0+v_{0y}t+\frac{g_y t^2}{2} \Rightarrow y=v_0 cos \, \alpha \, t- \frac{g cos \, \alpha \, t^2}{2}$.
Видно, что для координат точки падения выполняется условие
$v_0 cos \, \alpha \, t- \frac{g cos \, \alpha \, t^2}{2}=0$,
$v_0 — \frac{g t}{2}=0$,
$t= \frac{ 2v_0 }{g}$,
$t= \frac{ 2v_0 }{g}= \frac{ 2\sqrt{2g(H-h)} }{g}= 2\sqrt{ \frac{2(H-h)} {g}}$,
$t= 2 \cdot \sqrt{ \frac{2 \cdot (4-2)} {10}} \approx 1,26$ с.
Исходя из геометрических соображений, можно заключить, что дальность полета связана с координатой соотношением $L=x cos \, \alpha$, где $x$ — координата в найденный промежуток времени
$x=\sqrt{2g(H-h)} \cdot sin \,\alpha \cdot 2\sqrt{ \frac{2(H-h)} {g}} + \frac{g sin \, \alpha \,\left( 2\sqrt{ \frac{2(H-h)} {g}} \right)^2}{2}=$
$=4(H-h) sin \,\alpha+4(H-h) sin \,\alpha=8(H-h) sin \,\alpha$,
$L=8(H-h) sin \,\alpha cos \, \alpha=4(H-h) sin\, 2 \alpha$,
$L=4 \cdot (4-2) \cdot 1=8$ м.
Время падения шарика на поверхность равно
$\tau =t_1+t$,
$\tau =0,63+1,26=1,89$ с.
Ответ: 1,89 с и 8 м.