Задача. Из начала декартовой системы координат в момент времени $t= 0$ с тело (материальная точка) брошено под углом к горизонту. В таблице приведены результаты измерения координат тела и в зависимости от времени наблюдения.
Определите дальность и наибольшую высоту подъема тела. Определите модуль начальной скорости тела и угол, под которым тело брошено к горизонту. Перемещение тела за 0,6 с. Модуль и угол наклона скорости тела к горизонту в момент времени 0,3 с.
Решение. Наибольшая высота подъема — это наибольшее значение, которое достигает координата $y$. Из таблицы находим, что $H=0,8$ м. В момент времени, когда тело снова окажется в точке, вертикальная координата которой равна нулю, оно будет находиться на наибольшем удалении от точки броска (что соответствует наибольшей дальности полета). Судя по таблице это условие выполняется когда $x=2,4$ м, т.е. наибольшая дальность полета $L=2,4$ м.
Запишем уравнения движения, с учетом того, что мы не знаем угла наклона к горизонту начальной скорости запишутся в виде
$x=x_0+v_{0x}t+\frac{g_x t^2}{2} \Rightarrow x=v_{0x}t$,
$y=y_0+v_{0y}t+\frac{g_y t^2}{2} \Rightarrow y=v_{0y}t-\frac{g t^2}{2}$.
Выберем для дальнейшего решения координаты тела в произвольный момент времени, например, $t=0,5$ с, $x=1,5$ м и $y=0,75$ м. Из первого уравнения находим проекцию начальной скорости на горизонтальную ось
$v_{0x}=\frac{x}{t} \Rightarrow v_{0x}=\frac{1,5}{0,5}=3$ м/с,
а из второго — проекцию начальной скорости на вертикальную ось
$v_{0y}t=y+\frac{g t^2}{2}$,
$v_{0y}=\frac{y}{t}+\frac{g t}{2}$,
$v_{0y}=\frac{0,75}{0,5}+\frac{10 \cdot 0,5}{2}=4$ м/с.
Находим модуль начальной скорости, зная ее проекции
$v_0=\sqrt{v_{0x}^2+v_{0y}^2}$,
$v_0=\sqrt{3^2+4^2}=5$ м/с.
Угол наклона вектора начальной скорости к горизонту можно найти через тангенс этого угла
$tg \, \alpha =\frac{v_{0y}}{v_{0x}} \Rightarrow \alpha =arctg\, \frac{v_{0y}}{v_{0x}}$,
$\alpha =arctg\, \frac{4}{3} \approx 53^{\circ}$.
Перемещение тела можно найти через его координаты
$s=\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}$,
$s=\sqrt{(1,8-0)^2+(0,6-0)^2}\approx 1,9$ м.
Так как движение происходит с постоянным ускорением свободного падения, то справедливы равенства
$\vec{v}=\vec{v}_0+\vec{g}t$,
$v_x=v_{0x}+g_xt=v_{0x}$,
$v_y=v_{0y}+g_yt=v_{0y}-gt$.
Модуль скорости тела, связан ее проекциями на координатные оси соотношением $v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}$ или
$v=\sqrt{v_{0x}^2+(v_{0y}-gt)^2}$,
$v=\sqrt{3^2+(4-10 \cdot 0,3)^2}\approx 3,16$ м/с.
Угол наклона вектора начальной скорости к горизонту можно найти через тангенс этого угла
$tg \, \alpha =\frac{v_{y}}{v_{x}} \Rightarrow \alpha =arctg\, \frac{v_{y}}{v_{x}}=arctg\, \frac{v_{0y}-gt}{v_{0x}}$,
$\alpha =arctg\, \frac{4-10 \cdot 0,3}{3} \approx 18^{\circ}$.
Ответ: $H=0,8$ м; $L=2,4$ м; $v_0=5$ м/с; $\approx 53^{\circ}$; $s\approx 1,9$ м; $approx 3,16$ м/с и $\approx 18^{\circ}$.