Конический маятник (продолжение — начало смотри в движении тела по окружности — задачи (часть 1))
Д336. Привязанная к пружине гирька массой 100 г вращается по окружности в горизонтальной плоскости. При этом пружина составляет угол 30° с вертикалью. Период обращения гирьки равен 0,63 с. Чему равна длина недеформированной пружины, если её жёсткость 40 Н/м?
Д337. Шарик массой $m=0,1$ кг подвесили к пружине, жесткость которой $k=40$ Н/м. Затем шарик раскручивают так, что пружина описывает в пространстве конус (см. рис.). Определите длину пружины. Длина пружины в недеформированном состоянии $l_0=30$ см, угловая скорость вращения шарика $\omega=10$ рад/с.
Д338. Тело массой 200 г подвешивают на невесомой пружине жесткостью 100 Н/м с первоначальной длиной 20 см. Затем тело раскручивают с частотой 2 Гц так, что пружина с грузом описывает в пространстве конус. Определите возникающее при этом удлинение.
Д339. На доске ВА (см. рис.) укреплен на вертикальной стойке, отстающей от оси вращения на расстоянии $d=5$ см, отвес. Доска равномерно вращается вокруг вертикальной оси ОО’. Какова частота обращения доски, если нить отвеса длиной $l=8$ см отклонилась от вертикали на угол $\alpha =30^{\circ}$?
Д340. К краю круглой платформы радиусом $R=0,2$ м прикрепили на нити длиной $l=0,3$ м шарик (см. рис.). С какой угловой скоростью нужно вращать платформу, чтобы нить с осью платформы составляла угол $\alpha =30^{\circ}$?
Д341. Круглая платформа вращается с угловой скоростью $\omega= 2$ рад/с. На платформе находится шарик массой $m=0,15$ кг, прикрепленный к оси платформы нитью длиной $l=0,3$ м (см. рис.). Нить составляет с осью платформы угол $\alpha =30^{\circ}$. Найдите: а) силу натяжения нити; б) силу давления на платформу. При какой угловой скорости $\omega_1$ шарик не будет давить на платформу? Трение не учитывать.
Д342. Металлический стержень, согнутый под углом $\alpha =45^{\circ}$, вращается с угловой скоростью 6 рад/с вокруг вертикальной оси (см. рис.). К концу стержня прикреплен груз массой 0,1 кг на расстоянии $l=0,1$ м от точки О. Определите силу, с которой стержень действует на груз.
Д343. Стержень AO вращается с угловой скоростью $\omega=4$ рад/с относительно оси OO′ (см. рис.). Угол между стержнем и осью OO′ $\alpha =60^{\circ}$. На каком максимальном расстоянии от точки O можно расположить бусинку, чтобы она не соскользнула со стержня? Коэффициент трения между бусинкой и стержнем $\mu =0,8$.
Движение связанных тел
Д344. Два маленьких шарика связаны нитью и прикреплены к другой нити, в $\sqrt{3}$ раза меньшей длины. Система вращается с постоянной угловой скоростью вокруг вертикальной оси ОО‘ (см .рис.). Нити составляют углы $\alpha =30^{\circ}$ и $\beta =60^{\circ}$ с вертикалью. Найдите отношение масс $\frac{m_1}{m_2}$.
Д345. Два одинаковых шарика массой 250 г каждый, привязанные к нитям одинаковой длины, движутся по одной и той же горизонтальной окружности, постоянно занимая на ней диаметрально противоположные положения (см. рис.). Точка О подвеса нитей скреплена с пружинным динамометром. Найдите показание динамометра.
Д346. Два шарика массами $m_1=40$ г и $m_2=10$ г, надетые на горизонтальный стержень, связаны нитью длиной 20 см (см. рис.). Определите силу натяжения нити при вращении стержня с угловой скоростью 10 рад/с, если шарики не смещаются относительно оси вращения. Трением шарика о стержень пренебречь.
Д347. При каком соотношении масс два тела, связанные нерастяжимой нитью, могут вращаться с одинаковыми угловыми скоростями на гладкой горизонтальной поверхности, если ось вращения делит нить в отношении 1:5?
Д348. Горизонтальный диск вращают с угловой скоростью $\omega =20$ рад/с вокруг вертикальной оси (см. рис.). На поверхности диска в гладкой радиальной канавке находятся грузы 1 и 2 массами $m_1=0,2$ кг и $m_2=0,1$ кг, радиусы их вращения $R_1=0,1$ м, $R_2=0,2$ м. Найти силы натяжения нитей.
Тело на сферической, конической или наклонной поверхности
Д349. С какой скоростью должна двигаться небольшая шайба внутри гладкой полусферы радиусом 30 см, чтобы всё время оставаться в горизонтальной плоскости на высоте 15 см от нижней точки сферы?
Д350. Шарик массой 10 г, подвешенный на лёгкой нити, образующей угол 30° с горизонтом, лежит на гладкой полусфере радиусом 10 см (см. рис.). Нить направлена по касательной к сфере. Шарику сообщили горизонтальную скорость 0,5 м/с, и он стал двигаться по окружности в горизонтальной плоскости. а) С какой силой давит шарик на полусферу? б) При какой минимальной скорости шарика он не будет давить на полусферу?
Д351. В цирковом аттракционе мотоциклист движется по внутренней поверхности сферы радиусом $R=15$ м. Разогнавшись, он описывает окружность в горизонтальной плоскости (см. рис.). Определите минимальную скорость, которую должен иметь мотоцикл в этом случае, если коэффициент трения шин о поверхность сферы $\mu =0,5$, а угол, который составляет с горизонтом радиус, проведенный из центра сферы к мотоциклисту, равен $\alpha =15^{\circ}$.
Д352. Полая сфера радиусом $R=0,4$ м вращается вокруг вертикального диаметра с постоянной угловой скоростью $\omega =5$ рад/с. Вместе со сферой на ее внутренней поверхности движется небольшая шайба, находящаяся на высоте $h$ (см. рис.). Определить минимальное значение коэффициента трения $\mu$, при котором это возможно.
Д353. На наклонной плоскости с углом наклона к горизонту 30° лежит шайба. Наклонная плоскость равномерно вращается вокруг вертикальной оси, расположенной у основания наклонной плоскости (см. рис.). Расстояние от тела до оси вращения равно 10 см. Коэффициент трения между шайбой и плоскостью 0,3.
а) При какой частоте вращения действующая на шайбу сила трения равна нулю?
б) При какой минимальной частоте вращения шайба удержится на плоскости?
в) При какой максимальной частоте вращения шайба удержится на плоскости?
Д354. На наклонной плоскости с углом наклона $\alpha =30^{\circ}$, на расстоянии $l=0,5$ м от точки О, лежит небольшая шайба. Плоскость равномерно вращается с угловой скоростью $\omega=10$ рад/с и одновременно движется вертикально вверх с ускорением $a=5$ м/с2? (см. рис.). Найти наименьший коэффициент трения, при котором тело еще удерживается на наклонной плоскости.
Д355. Каков должен быть коэффициент трения резины о внутреннюю поверхность конуса с углом при вершине $2\alpha$, чтобы мотоциклист мог двигаться по окружности радиуса $R$ (см. рис.) с угловой скоростью $\omega$?
Д356. К вершине гладкого прямого кругового конуса с помощью нити прикреплён небольшой шарик. Конус вращается с частотой 0,5 с-1 вокруг своей оси, причём шарик вращается вместе с конусом (см. рис.). Угол при вершине конуса 120°. Чему равна длина нити, если сила натяжения нити в 2 раза больше действующей на шарик силы тяжести?
Д357. Конус с углом при вершине $2\alpha$ вращается с угловой скоростью $\omega$ вокруг своей вертикальной оси. Вершина конуса обращена вверх. На внешней поверхности конуса на расстоянии $L$ от вершины покоится (относительно конуса) небольшая шайба. Чему может быть равен коэффициент трения $\mu$ между шайбой и конусом?
Д358. В конусе лежит шарик (см. рис.). Конус начинают вращать с угловой скоростью 5 рад/с. На каком расстоянии от вершины конуса будет находиться шарик в состоянии равновесия? Угол между поверхностью конуса и осью симметрии $\alpha =45^{\circ}$.
