2.11. Движение тела по окружности. Решение задач. Часть 2

Конический маятник

Д328. Груз, подвешенный на нити длиной $l=60$ см, двигаясь равномерно, описывает в горизонтальной плоскости окружность. С какой скоростью движется груз, если во время его движения нить образует с вертикалью постоянный угол $\alpha =30^{\circ}$?

Д329. Подвешенный на нити груз вращается по окружности, расположенной в горизонтальной плоскости. При этом нить длиной 50 см составляет угол 30° с вертикалью.

а) Чему равно ускорение груза?
б) Чему равен радиус окружности, по которой движется груз?
в) Чему равна скорость груза?
г) Чему равен период обращения груза?

Д330. Маленький шарик, подвешенный на невесомой нерастяжимой нити длиной $l=30$ см, вращается в горизонтальной плоскости с периодом обращения $T=1$ с. Нить составляет с вертикалью угол $\alpha =30^{\circ}$ (см. рис.). По этим данным вычислить ускорение свободного падения.

Д331. Шарик массой 100 г, подвешенный на легкой нити, равномерно вращается в горизонтальной плоскости с центростремительным ускорением $a=\frac{3}{4}g$ (конический маятник). Найдите силу натяжения нити.

Д332. Шарик подвешен на нити длиной 50 см. Во сколько раз увеличится сила натяжения нити, если шарик раскрутить по окружности радиусом 30 см в горизонтальной плоскости (конический маятник)?

Д333. Грузик, привязанный к нити длиной 30 см, описывает в горизонтальной плоскости окружность радиусом 15 см. Определите частоту вращения грузика.

Д334. Шарик, подвешенный на легкой нерастяжимой нити, вращается по окружности в горизонтальной плоскости. Во сколько раз изменится расстояние между точкой подвеса и центром окружности при увеличении периода вращения в 2 раза?

Д335. Точка подвеса конического маятника движется вверх с постоянным ускорением 2,5 м/с2. Определите период обращения маятника, если нить отклонили от вертикали на 60°, а ее длина 1 м.

Д336. Привязанная к пружине гирька массой 100 г вращается по окружности в горизонтальной плоскости. При этом пружина составляет угол 30° с вертикалью. Период обращения гирьки равен 0,63 с. Чему равна длина недеформированной пружины, если её жёсткость 40 Н/м?

Д337. Шарик массой кг подвесили к пружине, жесткость которой Н/м. Затем шарик раскручивают так, что пружина описывает в пространстве конус (см. рис.). Определите длину пружины. Длина пружины в недеформированном состоянии  см, угловая скорость вращения шарика  рад/с.

Д338. Тело массой 200 г подвешивают на невесомой пружине жесткостью 100 Н/м с первоначальной длиной 20 см. Затем тело раскручивают с частотой 2 Гц так, что пружина с грузом описывает в пространстве конус. Определите возникающее при этом удлинение.

Д339. На доске ВА (см. рис.) укреплен на вертикальной стойке, отстающей от оси вращения на расстоянии см, отвес. Доска равномерно вращается вокруг вертикальной оси ОО’. Какова частота обращения доски, если нить отвеса длиной см отклонилась от вертикали на угол ?

Д340. К краю круглой платформы радиусом м прикрепили на нити длиной м шарик (см. рис.). С какой угловой скоростью нужно вращать платформу, чтобы нить с осью платформы составляла угол ? 

Д341. Круглая платформа вращается с угловой скоростью рад/с. На платформе находится шарик массой кг, прикрепленный к оси платформы нитью длиной  м (см. рис.). Нить составляет с осью платформы угол . Найдите: а) силу натяжения нити; б) силу давления на платформу. При какой угловой скорости  шарик не будет давить на платформу? Трение не учитывать.

Д342. Металлический стержень, согнутый под углом , вращается с угловой скоростью 6 рад/с вокруг зертикальной оси (см. рис.). К концу стержня прикреплен груз массой 0,1 кг на расстоянии м от точки О. Определите силу, с которой стержень действует на груз.

Д343. Стержень AO вращается с угловой скоростью рад/с относительно оси OO′ (см. рис.). Угол между стержнем и осью OO′ . На каком максимальном расстоянии от точки O можно расположить бусинку, чтобы она не соскользнула со стержня? Коэффициент трения между бусинкой и стержнем .

Д344. Два маленьких шарика связаны нитью и прикреплены к другой нити, в 3 раза меньшей длины. Система вращается с постоянной угловой скоростью вокруг вертикальной оси ОО1 (см .рис.). Нити составляют углы и с вортикалью. Найдите отпошение масс

 Движение связанных тел

    1. Два одинаковых шарика массой 250 г каждый, привязанные к нитям одинаковой длины, движутся по одной и той же горизонтальной окружности, постоянно занимая на ной диаметрально противоположные положения (см. рис.). Точка О подвеса нитей скреплена с пружинным динамометром. Найдите показание динамометра.
    2. Два шарика массами m_1=40 г и m_2=10 г, надетые на горизонтальный стержень, связаны нитью длиной 20 см (см. рис.). Определите силу натяжения нити при вращении стержня с угловой скоростью 10 рад/с, если шарики не смещаются относительно оси вращения. Трением шарика о стержень пренебречь.
    3. При каком соотношении масс два тела, связанные нерастяжимой нитью, могут вращаться с одинаковыми угловыми скоростями на гладкой горизонтальной поверхности, если ось вращения делит нить в отношении 1:5
    4. Горизонтальный диск вращают с угловой скоростью рад/с вокруг вертикальной оси ОО’ (см. рис.). На поверхности диска в гладкой радиальной канавке находятся грузы 1 и 2 массами кг и  кг, радиусы их вращения  м,  м. Найти силы натяжения нитей.
  2. Тело на сферической, конической или наклонной поверхности
    1. С какой скоростью должна двигаться небольшая шайба внутри гладкой полусферы радиусом 30 см, чтобы всё время оставаться в горизонтальной плоскости на высоте 15 см от нижней точки сферы?
    2. Шарик массой 10 г, подвешенный на лёгкой нити, образующей угол 30° с вертикалью, лежит на гладкой полусфере радиусом 10 см (см. рис.). Нить направлена по касательной к сфере. Шарику сообщили горизонтальную скорость 0,5 м/с, и он стал двигаться по окружности в горизонтальной плоскости. а) С какой силой давит шарик на полусферу? б) При какой минимальной скорости шарика он не будет давить на полусферу?
    3. В цирковом аттракционе мотоциклист движется по внутренней поверхности сферы радиусом м. Разогнавшись, он описывает окружность в горизонтальной плоскости (см. рис.). Определите минимальную скорость, которую должен иметь мотоцикл в этом случае, если коэффициент трения шин о поверхность сферы , а угол, который составляет с горизонтом радиус, проведенный из центра сферы к мотоциклисту, равен .
    4. Полая сфера радиусом м вращается вокруг вертикального диаметра с постоянной угловой скоростью  рад/с. Вместе со сферой на ее внутренней поверхности движется небольшая шайба, находящаяся на высоте  (см. рис.). Определить минимальное значение коэффициента трения , при котором это возможно.

     

    1. На наклонной плоскости с углом наклона к горизонту 30° лежит шайба. Наклонная плоскость равномерно вращается вокруг вертикальной оси, расположенной у основания наклонной плоскости (см. рис.). Расстояние от тела до оси вращения равно 10 см. Коэффициент трения между шайбой и плоскостью 0,3.

    а) При какой частоте вращения действующая на шайбу сила трения равна нулю?

    б) При какой минимальной частоте вращения шайба удержится на плоскости?

    в) При какой максимальной частоте вращения шайба удержится на плоскости?

    1. На наклонной плоскости с углом наклона , на расстоянии м от точки О, лежит небольшая шайба. Плоскость равномерно вращается с угловой скоростью рад/с и одновременно движется вертикально вверх с ускорением  м/с2? (см. рис.). Найти наименьший коэффициент трения, при котором тело еще удерживается на наклонной плоскости.
    2. Каков должен быть коэффициент трения резины о внутреннюю поверхность конуса с углом при вершине , чтобы мотоциклист мог двигаться по окружности радиуса (см. рис.) с угловой скоростью ? (636)
    3. К вершине гладкого прямого кругового конуса с помощью нити прикреплён небольшой шарик. Конус вращается с частотой 0,5 с-1 вокруг своей оси, причём шарик вращается вместе с конусом (см. рис.). Угол при вершине конуса 120°. Чему равна длина нити, если сила натяжения нити в 2 раза больше действующей на шарик силы тяжести?
    4. Конус с углом при вершине 2α вращается с угловой скоростью ω вокруг своей вертикальной оси. Вершина конуса обращена вверх. На внешней поверхности конуса на расстоянии L от вершины покоится (относительно конуса) небольшая шайба. Чему может быть равен коэффициент трения μ между шайбой и конусом?
    5. В конусе лежит шарик (см. рис.). Конус начинают вращать с угловой скоростью 5 рад/с. На каком расстоянии от вершины конуса будет находиться шарик в состоянии равновесия? Угол между поверхностью конуса н осью симметрии .

    Разное

    1. Вагон едет по закруглению радиуса 120 м. Какова скорость вагона, если нить, на которой к потолку вагона подвешен шар, отклонилась от вертикали на угол 45°?
    2. В вагоне поезда, идущего равномерно со скоростью 15 м/с по горизонтальному закруглению, взвешивают груз массой 2 кг с помощью динамометра, подвешенного к потолку вагона. Чему равен радиус закругления, если динамометр показывает 22 Н?
    3. Поезд движется по закруглению радиусом м со скоростью км/ч. Расстояние между рельсами  м (см. рис.). На сколько следует приподнять наружный рельс по отношению к внутреннему, чтобы давление на рельсы было одинаковым?
    4. Цепочка массой т надета на вертикальный цилиндр радиусом см (см. рис.). Сила натяжения цепочки  Н. Найти коэффициент трения между поверхностью цилиндра и цепочкой, если при вращении цилиндра вокруг своей оси с угловой скоростью  рад/с цепочка с него соскальзывает.
    5. Шарик на нити, вращающийся равномерно в вертикальной плоскости, находится в лифте, движущемся с ускорением . Когда шарик находится в нижней точке своей траектории, натяжение нити равно нулю. Определить натяжение нити в момент, когда шарик находится в верхней точке своей траектории. Масса шарика .
    6. На гладком столе лежит кольцо массой и радиусом . Кольцо сделано из проволоки, выдерживающей максимальное натяжение . До какой угловой скорости нужно раскрутить кольцо, чтобы оно разорвалось?
    7. Тонкое резиновое кольцо радиусом и массой раскрутили на гладком столе до угловой скорости . Найти новый радиус кольца, если жесткость резины .
    8. Небольшое тело массой , укрепленное на невесомом стержне, равномерно движется по окружности радиусом со скоростью . В некоторый момент времени на тело начинает действовать сила , направленная под углом к скорости (см. рис.). Какое время тело будет двигаться до полной остановки? Сколько оборотов совершит тело до полной остановки?